§10. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.

Пусть уравнение определяет переменную как неявную функцию от переменной (будем считать эту функцию дифференцируемой). Тогда для нахождения производной нужно продифференцировать обе части уравнения по , считая при этом, что зависит , и из полученного уравнения, линейного относительно, найти производную.

Пример 1.

Найти производные функций , заданных неявно следующими уравнениями: а) , б).

Решение.

а) Дифференцируем обе части данного уравнения по , считая :

.

Слагаемые с оставляем в левой части равенства, общий множитель выносим за скобки и находим как решение линейного уравнения:

.

Производная неявно заданной функции получается выраженной как через аргумент , так и через саму функцию . Поэтому в ответ ее следует записать вместе с уравнением, связывающим и .

Ответ: , где .

б) Дифференцируем обе части данного уравнения по , считая :

.

Слагаемые с переносим в левую часть равенства, общий множитель выносим за скобки и решаем уравнение относительно :

.

Ответ: , где .

Если функция аргумента задана параметрически:

, то ее производная вычисляется по формуле: .

Пример 2.

Найти производную функции, заданной параметрически:

а) , б) .

Решение.

а) , .

Тогда по формуле получим

Производная получилась выраженной через параметр . Как известно, производная функции является функцией того же аргумента . Поэтому полученная производная в рассматриваемом примере должна быть записана в параметрической форме.

Ответ: .

б) ,

.

Тогда по формуле получим .

Ответ: .

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

а) Найти производную функции , заданную неявно .

б) Найти производную функции, заданной параметрически .

Вариант 2.

а) Найти производную функции , заданную неявно .

б) Найти производную функции, заданной параметрически .

Вариант 3.

а) Найти производную функции , заданную неявно

.

б) Найти производную функции, заданной параметрически

.

Ответы.

Вариант 1.

а) , где ; б) .

Вариант 2.

а) , где ; б) .

Вариант 3.

а) , где ; б) .

Дополнительные упражнения.

1. Убедиться в том, что функция , определяемая уравнением , удовлетворяет также соотношению .

2. Убедиться в том, что функция , заданная параметрически уравнениями , удовлетворяет соотношению где .

3. Убедиться в том, что функция удовлетворяет соотношению , где .

§11.Геометрический и механический смысл производной.

Если функция имеет производную в точке , то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен .

Уравнение касательной к графику функции в ее точке имеет вид

.

Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к касательной, называется нормалью.

Если , то уравнение нормали записывается в виде

.

Если , то нормаль имеет уравнение .

Пусть графики функций и пересекаются в точке М₀. За угол между графиками этих функций принимается величина меньшего угла, образованного касательными, проведенными к графикам в точке М₀.

Угол находится с помощью формулы: , .

Если , то .

Пример 1.

Под какими углами синусоида пересекает ось абсцисс?

Решение.

Синусоида пересекает ось абсцисс в точках ,.

Ее производная:

Если , то ,

то есть угловой коэффициент касательной к синусоиде равен единице. Следовательно, в точках синусоида пересекает ось абсцисс под углом .

Если , то ,

то есть в этих точках синусоида пересекает ось абсцисс под углом .

Ответ:

Пример 2.

Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой .

Решение.

Найдем производную функции:

.

Вычислим значения функции и ее производной в точке :

, .

Запишем уравнение касательной

,

упрощая которое, получим .

Запишем уравнение нормали:

,

упрощая которое, получим .

Ответ: – уравнение касательной,

– уравнение нормали.