7. Варианты заданий Задача 1
Задано скалярное поле
u=u(x,y,z),
точка M в области поля и
вектор
.
Требуется найти в точке M
градиент поля и производную поля в
направлении вектора
.
1.
u=
n(x2+y2+z2);
M(1,2,-1);
=2
+4
-2
.
2.
u=tg(x2y2+z2);
M(1,2,2);
=3
-2
+1
.
3.
u=arctg(x2+y2z2);
M(1,3,1);
=4
+1
+3
.
4,
u=
n(x3+y4+z2);
M(1,1,-1);
=2
+2
-2
.
5.
u=sin(x2+y2z3);
M(1,2,1);
=3
+3
-2
.
6.
u=
n(x2y3+z2);
M(2,2,1);
=1
+2
-3
.
7.
u=arcctg(x2+y3z2);
M(1,2,-2);
=2
+3
-2
.
8.
u=cos(x2y2+z2);
M(2,1,-1);
=2
+4
+2
.
9.
u=
n(x3+y2+z3);
M(1,-2,1);
=2
-4
-2
.
10.
u=
n(x2+y2)-z2xy;
M(1,2,-1);
=-2
+4
-2
.
11.
u=cos(x2)+y2z3;
M(1,2,-1);
=2
+4
-2
.
12.
u=
n(x2+2y3+4z2);
M(1,2,3);
=2
+4
-2
.
13.
u=x2/y2+xz3;
M(2,2,-1);
=2
+4
-2
.
14.
u=arctg(x/y)+ y2z2;
M(1,2,-1);
=2
+4
-2
.
15.
u=sin(x3+y2)-xz2;
M(1,2,2);
=2
-3
+1
.
16.
u=y
n(2x2+3z2);
M(1,2,3);
=2
+4
-2
.
17.
u=arctg(yx2+z2);
M(1,2,1);
=4
+2
+3
.
18.
u=sin(x3+y3)-yz2;
M(2,,2);
=2
+3
+1
.
19.
u=cos(y2)+x2z3;
M(1,-2,-1);
=3
+2
-2
.
20.
u=
n(x3+y2)-z2y;
M(-1,2,1);
=-2
+3
-2
.
21.
u=ctg(x3y2+z4);
M(1,-2,2);
=4
-2
+1
.
22.
u=tg(x2y+z3);
M(2,-1,-1);
=4
+1
+2
.
23.
u=x2/z2+yz3;
M(2,2,-1);
=2
+4
-2
.
24.
u=arctg(zx2+y2);
M(1,2,1);
=4
+2
+3
.
25.
u=
n(x2+y3)-zy2;
M(-1,2,1);
=-2
+4
-2
.
26.
u=tg(xy2+z4);
M(1,2,-2);
=3
-2
+1
.
27.
u=arcctg(x2+yz3);
M(1,-2,-2);
=2
+3
-2
.
28.
u=ctg(x2y+xz3);
M(2,1,-1);
=3
+1
+2
.
29.
u=
n(x2+y3+z3);
M(1,2,1);
=4
-2
-2
.
30.
u=tg(x2y2+z2);
M(1,2,-2);
=3
-2
-1
.
Задача 2
Известно
векторное поле
=P
+Q
+R
и задана пирамида V,
ограниченная с одной стороны плоскостью
П с уравнением Ax+By+Cz+D=0,
а с трех других сторон координатными
плоскостями. Обозначим: S
– поверхность пирамиды,
- основание пирамиды, принадлежащее
плоскости П;
- контур, ограничивающий ;
– вектор нормальный к S
и направленный от пирамиды.
Требуется вычислить:
-
поток векторного поля
через полную поверхность S
пирамиды V в направлении
внешней нормали к ее поверхности S
непосредственно и, используя формулу
Остроградского-Гаусса; -
циркуляцию векторного поля
по
замкнутому контуру
непосредственно и применив формулу
Стокса к контуру
и ограниченной им поверхности
с нормалью
;
Сделать поясняющие чертежи. Все вычисления проводить подробно с поясняющими надписями.
1.
=(2z-x)
+(z-y)
+(x-y+z)
;
П: x-y+z/2-3=0,
2.
=(2z-y)
+(x-y)
+(x-y-z)
;
П: 2x+y-z-2=0,
3.
=(3z-x-y)
+(z+y)
+(x-z)
;
П: x-y/2+z/2-1=0,
4.
=(2y-x)
+(z+y)
+(x-y+z)
;
П:-x/2+y+z-4=0,
5.
=(3y+x)
+(z-y)
+(x-y+z)
;
П: x/2-y/3+z/2-2=0,
6.
=(x+y+z)
+(2z+y)
+(3y+z)
;
П: -x-y+z-3=0,
7.
=(x+y+z)
+(2z+y)
+(3y+z)
;
П: x/2-y-z-4=0,
8.
=(x+2y+z)
+(z+2y)
+(y+2z)
;
П: x-y/3+z/2-3=0,
9.
=(x+y+2z)
+(2x+y)
+(3y+z)
;
П: x/3-y+z/2-1=0,
10.
=(2x+y+z)
+(z+3y)
+(3x+z)
;
П: x/2-y/3+z-2=0,
11.
=(x+y+z)
+(2z+y)
+(3y+z)
;
П: x-y/2-z/3-3=0,
12.
=(x-2y+z)
+(2x+y)
+(3x+z)
;
П: x-y/3-z/2-2=0,
13.
=(x+z)
+(2x-y+z)
+(3y+z)
;
П: x/2-y/2+z-1=0,
14.
=(x-z)
+(x-3y+z)
+(3x+z)
;
П: -x-y/2+z-2=0,
15.
=(x+2z)
+(2x+y+z)
+(3y+z)
;
П: x/2-y/2+z-3=0,
16.
=(x-y)
+(x-2y+z)
+(y+2z)
;
П: x/3-y-z/2-3=0,
17.
=(x+z)
+(2x-y+z)
+(3y+z)
;
П: x/2-y/2+z-2=0,
18.
=(x-2z)
+(x-y+2z)
+(y+2z)
;
П: -x-y/2+z/2-3=0,
19.
=(x+z)
+(x+2y+z)
+(x+z)
;
П: 2x-y+z/3-2=0,
20.
=(x+z)
+(2x-y+z)
+(3y+z)
;
П: x/2-y-z-2=0,
21.
=(x-2z)
+(2x+y-2z)
+(y-2z)
;
П: x/2+y/3-z/2-1=0,
22.
=(x+3z)
+(x-3y+z)
+(3x+z)
;
П: x-y/2-z-2=0,
23.
=(x+z)
+(2x-y+z)
+(3y+z)
;
П: x/2-y/2+z-3=0,
24.
=(x-y+z)
+(2x+y)
+(y-3z)
;
П: x-y/2+z-2=0,
25.
=(x+2y+z)
+(2x-y)
+(y+2z)
;
П: x/3+y/2+z/2-1=0,
26.
=(x-y+2z)
+(x+2y)
+(x-3z)
;
П: x/2+y/2+z-2=0,
27.
=(2x-y+3z)
+(2x+2y)
+(y+2z)
;
П: x-y/2+z-3=0,
28.
=(x-y+z)
+(2x+y)
+(y-3z)
;
П: x-y/2+z-2=0,
29.
=(x-y)
+(2x+y)
+(x+y-3z)
;
П: x/3-y/2-z-3=0,
30.
=(x+2y)
+(x-3y)
+(x-y+2z)
;
П: x-y/2-z/3-3=0,