3. Циркуляция и работа векторного поля.

Рассмотрим в векторном поле (P,Q,R) замкнутый контур L и вектор касательный к контуру L, тогда циркуляцией поля вдоль кривой L называется криволинейный интеграл второго рода

.

С физической точки зрения циркуляция силового векторного поля – это работа силы поля при перемещении материальной точки по кривой L.

4. Дивергенция и ротор векторного поля.

Выберем в векторном поле пространственный объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S. Внутри объема V зафиксируем точку M. Вычислим поток вектора через внешнюю сторону поверхности S. Пусть поверхность S стягивается в точку M при V→0, тогда дивергенцией векторного поля в точке M называется предел

.

Если векторное поле представляет собой поле скоростей несжимаемой жидкости, то точка, в которой div(M)>0 является источником, а точка с div(M)<0 – стоком. При этом величина div(M) характеризует интенсивность (мощность) источника или стока.

В прямоугольной декартовой системе координат, если (P,Q,R), то дивергенция поля вычисляется по формуле

.

Рассмотрим в векторном поле замкнутый контур L. Внутри площадки S ограниченной контуром L выберем точку M. Вычислим циркуляцию поля вдоль кривой L. Пусть замкнутый контур L стягивается в точку M при S→0. Тогда ротором векторного поля в точке M называется вектор, проекция которого, на какое либо направление равна пределу отношения циркуляции вектора по контуру L, ограничивающему плоскую площадку S, перпендикулярную этому направлению к площади площадки S

.

В прямоугольной декартовой системе координат, если (P,Q,R), то ротор векторного поля в точке M определяется по формуле

,

где все частные производные вычисляются в точке M.

Часто ротор векторного поля записывают в символической форме:

,

где под умножением элементов второй строки определителя на P,Q,R понимается выполнение соответствующей операции дифференцирования.

Точки векторного поля, в которых ротор (вихрь) не равен нулю, называются вихревыми. Они могут образовывать в пространстве области: вихревые линии, вихревые трубки.

5. Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса в векторной форме.

С использованием дифференциальных характеристик векторного поля известные формула Остроградского-Гаусса и Стокса можно записать в векторной форме.

Формула Остроградского-Гаусса

.

Эта формула означает, что поток поля через замкнутую поверхность S ограничивающую объем V равен интегралу по объему от дивергенции поля.

Формула Стокса

.

Эта формула означает, что циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора поля через поверхность S, ограниченную этим контуром.

В такой форме эти формулы имеют широкое применений в теоретической физике, технической физике и технических приложениях.

6. Потенциал векторного поля.

Векторное поле называется потенциальным (градиентным, безвихревым), если его вектор является градиентом некоторой скалярной функции u, то есть . При этом скалярная функция u называется потенциалом векторного поля.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы в односвязной области векторное поле было потенциальным, является выполнение равенства . В прямоугольной декартовой системе координат, если (P,Q,R) условия потенциальности поля:

.

Так как в потенциальном поле , то в соответствии с формулой Стокса и циркуляция этого поля по любому замкнутому контуру равна нулю. Для поля скоростей текущей жидкости это означает отсутствие в потоке жидкости замкнутых струй, то есть водоворотов, а для силового поля это означает равенство нулю работы поля по любому замкнутому контуру.

В потенциальном поле криволинейный интеграл не зависит от формы кривой L, а зависит только от положения начальной и конечной точек кривой.

Потенциал векторного поля всегда можно вычислить по формуле

,

где x₀, y₀, z₀ – координаты некоторой фиксированной точки области поля, чаще всего принимают эти координаты равными нулю.

Примерами потенциальных полей являются гравитационное поле Земли и электрическое поле напряженности точечного заряда.