2. Векторное поле. Поток вектора через поверхность.

Говорят, что в области V пространства определено векторное поле, если каждой точке М этой области поставлен в соответствие вектор (M). В декартовой прямоугольной системе координат векторное поле задается в виде

.

Примерами векторного поля являются поле силы тяжести (гравитационное), поле скоростей частиц текущей жидкости, магнитное поле и т.д.

Векторной линией поля (M) называется кривая, касательная к которой в каждой точке М поля имеет направление вектора (M). В декартовой системе координат векторные линии поля описываются системой дифференциальных уравнений

.

Потоком векторного поля через ориентированную поверхность S в направлении единичного вектора нормали к поверхности ( cosα, cosβ, cosγ) называется поверхностный интеграл

.

Если поле задано в прямоугольной декартовой системе координат векторной функцией (P,Q,R), то поток векторного поля можно записать в виде поверхностного интеграла первого рода

или в виде поверхностного интеграла второго рода

.

Если поле скоростей текущей жидкости, то поток вектора физически равен объему жидкости протекающей через поверхность S за единицу времени.

Пусть поверхность S задана уравнением F(x,y,z)=0. Если это уравнение можно однозначно разрешить относительно z, то есть представить в виде z=z(x,y), то имеет место следующая формула

,

где S_xy – проекция поверхности на плоскость Oxy прямоугольной декартовой системы координат, а знак плюс (минус) перед двойным интегралом выбирается тогда, когда направление нормали к поверхности S образует с осью Oz острый (тупой) угол.

Если же уравнение поверхности можно однозначно разрешить относительно x, то есть представить в виде x=x(y,z), то имеет место следующая формула

,

где S_yz – проекция поверхности на плоскость Oyz прямоугольной декартовой системы координат, а знак плюс (минус) перед двойным интегралом выбирается тогда, когда направление нормали к поверхности S образует с осью Ox острый (тупой) угол.

Наконец если уравнение поверхности можно однозначно разрешить относительно y, то есть представить в виде y=y(x,z), то имеет место следующая формула

,

где S_xz – проекция поверхности на плоскость Oxz прямоугольной декартовой системы координат, а знак плюс (минус) перед двойным интегралом выбирается тогда, когда направление нормали к поверхности S образует с осью Oy острый (тупой) угол.

В случае, когда поверхность можно разбить на конечное число элементов, каждый из которых удобно задать одним из уравнений z=z(x,y), x=x(y,z), y=y(x,z), то поток вектора через всю поверхность S равен сумме интегралов по всем элементам поверхности.

Если поверхность S замкнутая, то поток вектора записывают в виде

.

Если S ограничивает некоторый объем V, внешняя нормаль к S, поле скоростей жидкости, то k определяет поток из объема V. При этом k является разностью между количеством жидкости вытекающей и втекающей в объем V через S в единицу времени. При k>0 из объема V вытекает жидкости больше, чем втекает. То есть, если жидкость несжимаема, то в объеме V есть источники, из которых в объем поступает жидкость. При k<0 в объеме есть стоки, через которые жидкость уходит из объема. При k=0 внутри объема либо нет источников и стоков, либо их действие компенсируется.