5. Построение модели в стандартизированном виде

По характеру изменения уровней валового дохода можно выдвинуть гипотезу о прямолинейном законе распределения этого показателя во времени. Уравнение множественной регрессии для прямолинейной связи имеет следующий вид:

Y = b₁t₁ + b₂t₂ + b₃t₃.

Для решения этого уравнения регрессии воспользуемся методом исключения (методом Гаусса), для чего составим и запишем систему нормальных уравнений:

 b₁ + b₂r_x1x2 + b₃r_x1x3 = r_yx1

 b₁r_x1x2 + b₂ + b₃r_x2x3 = r_yx2

 b₁r_x1x3 + b₂r_x2x3 + b₃ = r_yx3.

Решить систему нормальных уравнений – значит, найти численное значение коэффициентов регрессии b₁, b₂, b₃. Все остальные параметры системы уравнений (коэффициенты парной корреляции) уже были вычислены на первом и втором этапах расчетов. Запишем эту же систему уравнений с численными значениями известных параметров:

b₁ + b₂0,694 + b₃0,816 = 0,897,

b₁0,694 + b₂ + b₃0,854 = 0,826,

b₁0,816 + b₂0,854 + b₃ = 0,965.

Разделим каждый член каждого уравнения системы на соответствующие коэффициенты при b₁, то есть

b₁ + b₂0,694 + b₃0,816 = 0,897 1,000

b₁0,694 + b₂ + b₃0,854 = 0,826 0,694

b₁0,816 + b₂0,854 + b₃ = 0,965 0,816.

В результате этой процедуры (деления) получим новую систему уравнений с тремя неизвестными, в которой коэффициенты при b₁, равны единице:

b₁ + b₂0,694 + b₃0,816 = 0,897

b₁ + b₂1,441 + b₃1,230 = 1,190

b₁ + b₂1,047 + b₃1,226 = 1,183.

Для исключения из системы уравнений неизвестного параметра b₁ вычтем из второго уравнения - первое, и из третьего уравнения – первое. В результате этой операции (вычитания) получим новую систему из двух уравнений, но уже только с двумя неизвестными:

b₂0,747 + b₃0,414 = 0,293

– b₂0,394 – b₃0,004 = – 0,007.

Как и в предыдущем случае, разделим каждый член каждого уравнения этой системы на соответствующие коэффициенты при b₂, то есть

b₂0,747 + b₃0,414 = 0,293 0,747

– b₂0,394 – b₃0,004 = – 0,007 – 0,007.

В результате этой процедуры (деления) получим новую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, в которой коэффициенты при b₂ равны единице:

b₂ + b₃0,555 = 0,392

b₂ + b₃0,010 = 0,019.

Для исключения из этой системы уравнений неизвестного параметра b₂ вычтем из первого уравнения второе. В результате этой операции (вычитания) получим новое уравнение, но уже только с одним неизвестным:

b₃0,545 = 0,373.

Откуда

b₃ = 0,373 / 0,545 = 0,684.

Для определения численного значения коэффициента регрессии b₂ подставим найденное значение коэффициента регрессии b₃ в первое уравнение системы из двух уравнений:

b₂ + b₃0,555 = 0,392,

b₂ + (0,684)0,555 = 0,392.

Откуда

b₂ = 0,392 – (0,684)0,555 = 0,012.

Для определения численного значения коэффициента регрессии b₁ подставим найденные значения коэффициентов регрессии b₂ и b₃ в первое уравнение системы из трех уравнений:

b₁ + b₂0,694 + b₃0,816 = 0,897,

b₁ + (0,012)0,694 + (0,684)0,816 = 0,897.

Откуда

b₁ = 0,897– (0,012)0,694 – (0,684)0,816 = 0,331.

Все численные значения коэффициентов множественной регрессии найдены. Тогда уравнение связи в стандартизированном виде будет иметь следующий вид:

Y = 0,331t₁ + 0,012t₂ + 0,684t₃.