
-
Индивидуальное задание
Индивидуальное задание студенту определяется по таблице 7 в соответствии с двумя последними цифрами номера зачетной книжки студента. В таблице 7 в ячейках на пересечении старших и младших последних двух разрядов зачетной книжки приведены цифры, которые обозначают следующие параметры задания:
первая цифра – вид закона регулирования согласно таблице 4;
вторая цифра – тип корректирующего фильтра согласно таблице 5,
третья цифра – способ подключения корректирующего звена: 1 – последовательное корректирующее устройство (ПКУ), 2 – звено обратной связи (ОС);
четвертая цифра – параметры схемы согласно таблице 6.
2
5 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
-
Пример формирования исходных данных
Пусть, например, в соответствии с индивидуальным заданием, в схеме САР рисунке 1 заданы:
Wk(p) = 1 (2)
(ПКУ отсутствует).
Wy(p) = k0 + k1p = b1/p (3)
(пропорционально-интегродифференциальный закон регулирования).
Woc(p) = |
1 T1T2p2 + [T1(1+R2 /R1) + T2]p + 1 |
, (4) |
где T1 = R1C1, T2 = R2C2 .
R2
R1
C2
C1
Рисунок 2 – Схема RC-фильтра
Схема RC-фильтра, имеющего передаточную функцию (4), приведена на рисунке 2.
3
Числовые значения параметров, входящих в (1-4), приведены в таблице 1.
-
Передаточная функция аналогового прототипа
Передаточная функция аналогового прототипа проектируемой дискретной линейной системы (ДЛС) получается подстановкой в (1) выражений (2-4), определяющих передаточные функции отдельных звеньев:
W(p) = |
k0 + k1p + b1/p
1 + (k0 + k1p + b1/p) |
1 ap2 +dp + 1 |
, (5) |
где a = T1T2 (6)
d = T1(1 + R2 /R1) +T2 (7)
Преобразуем (5) и приведем его к виду:
W(p) = |
(k1a)p4 + (k0a + k1d)p3 + (b1a =k0d + k1)p2 + (b1d + k0)p + b1 ap3 + np2 + mp + b1 |
(8) |
где n = d + k1, m = 1 + k0 . (8)
Вводя новые обозначения, выражение может быть представлено в виде:
W(p) = |
rp4 + sp3 + qp2 + cp +b1 ap3 + np2 + mp + b1 |
(9) |
4
где обозначено:
r = k1a, (10)
s = k0a + k1, (11)
q = b1a +k0d + k1, (12)
c = b1d + k0 (13)
Выражение (9) является исходным для последующего синтеза ДЛС.
-
Выбор метода синтеза ДЛС
-
Синтез по заданной импульсной реакции
Синтез ДЛС должен осуществляться посредством построения системы, эквивалентной в некотором смысле непрерывной линейной системе с заданной передаточной функцией. Поскольку структурная схема дискретной обработки сигнала предполагает дискретизацию исходного аналогового сигнала, то естественным вариантом дискретного аналога исходной непрерывной системы
является такой, когда дискретные значения импульсной весовой функции ДЛС совпадают с соответствующими дискретными выборками импульсной реакции исходного аналогового прототипа. Такой метод называется синтезом по заданной импульсной реакции. Результатом применения этого метода является Z-передаточная функция ДЛС:
D(Z) = t g(n) Z-n , (14)
n=0
5
где g(n) = g(n t) с точностью до t совпадает с отсчетами g(t) импульсной реакции непрерывной системы.
На практике непрерывная система чаще всего задается передаточной функцией К(р). Поскольку К(р) и g(t) взаимно однозначно связаны преобразованием Лапласа, то очевидно, что D(Z) может быть определена и по известной функции К(р). Для этого передаточную функцию К(р) следует представить в виде
K(p) = |
K1(p) K2(p)
|
= |
b0 + b1p + ... + bi pi (15) a0 + a1p + ... + ampm |
|
Функция К(р) далее может быть разложена на простые дроби:
K(p)= |
m di i=1 |
1 p - pi |
, (16) |
|
где pi - однократные полюсы, i =1,2, ...,m , а коэффициенты
di = K(p) (p – pi) (17)
p=pi
Так как обратное преобразование Лапласа от (16) имеет вид
g(t) = |
m i=1
|
di epi t , (18) |
то
D(Z) = |
t n=0 |
m di epi n t Z-n = i=1 |
m i=1 |
di t (19)
1 - epi n t Z-1 |
6
В общем случае, когда К(р) имеет s различных полюсов pi, i=1,2,...,s
каждый кратности ri , вычисление D(Z) становится более громоздким.
-
Синтез по заданной амплитудно-частотной характеристике
Пусть известна передаточная функция К(р) аналогового прототипа системы. Если необходимо перейти к Z - передаточной функции ДЛС так, чтобы АЧХ ДЛС была близка к АЧХ прототипа, то можно воспользоваться связью между переменными Р и Z, которая имеет вид
|
Z = e p t |
, (20) |
откуда
|
P = 1 ln Z Δt |
, (21) |
Однако воспользоваться (21) для получения D(Z) затруднительно, так как простая подстановка (21) в К(р) приведет к иррациональной функции D(Z) , которая не может быть реализована в линейных дискретных системах. Для того, чтобы получить возможность непосредственного перехода от К(р) к D(Z) следует аппроксими
7
ровать функцию (21) рациональной функцией, воспользовавшись разложением в ряд Тейлора:
|
|
, (22) |
Если ограничиться в (22) одним первым слагаемым, то получится преобразование
|
|
, (23) |
которое называется билинейным и широко используется в практике синтеза ДЛС.
-
Определение Z-передаточной функции и синтез
Функциональной схемы ДЛС
Воспользуемся методом билинейного преобразования. Для этого в (9) заменим
где τ - период дискретизации.
В
результате такой подстановки получим:
8
Умножая числитель и знаменатель в (24) на (Z+1)4, получим
где
Далее, пользуясь формулой бинома Ньютона, раскрываем скобки в числителе и знаменателе (25), приводим подобные члены и приходим к выражению:
где обозначено
Разделив числитель и знаменатель в (26) на AZ4 , окончательно получим
Выражения для вычисления множителей, используемых в функ
9
иональной схеме рисунок 3, приведены в таблице 2.
Таблица 2- Формулы для вычисления множителей
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K0 K1 заданы |
b 11 –задано |
|
R1 R2 заданы |
|
|
C1 C2 заданы |
Константы с верхним индексом в виде апострофа (‘) означают одноименные константы без апострофа, деленные на A. Выражение D(Z) в форме (28) является основой для последующего синтеза ДЛС.
Функциональная схема ДЛС, имеющей Z-передаточную функцию (28), приведена на рисунке 2.
10