2.5 Задача 2

Решить задачу линейного программирования Симплекс методом:

1. Составляем первую укороченную симплекс-таблицу СТ1:

БП СП						B
	3	8	3	5	10	12
	5	5	5	6	6	10
Z	-4	-10	-10	-10	-12	0

Все элементы столбца свободных членов положительные, следовательно, можно применить “Алгоритм 1 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц”.

2. Выбираем разрешающий столбец l соответствующий наименьшему отрицательному элементу в Z строке:

Следовательно,

БП СП						B
	3	8	3	5	10	12
	5	5	5	6	6	10
Z	-4	-10	-10	-10	-12	0

3. Выбираем разрешающую строку k, которая соответствует наименьшему положительному из отношений элементов правой части уравнений (элементы столбца B) на соответствующие элементы разрешающего столбца:

Следовательно, , так как минимальное положительное отношение соответствует первой строке.

БП СП						B
	3	8	3	5	10	12
	5	5	5	6	6	10
Z	-4	-10	-10	-10	-12	0

4. Элемент стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки называется разрешающим элементом :

5. Переходим к новой симплекс таблице СТ2 по следующим правилам:

   1. Меняем местами СП и БП соответствующие разрешающему элементу.

БП СП						B
Z

2. На месте разрешающего элемента в новой таблице стоит величина ему обратная:

БП СП						B
Z

3. Все элементы разрешающей строки делятся на разрешающее число, включая элемент последнего столбца:

БП СП						B
Z

4. Все элементы разрешающего столбца делятся на разрешающее число, включая элемент последней строки, с обратным знаком:

БП СП						B
Z

5. Все остальные элементы матрицы вычисляются по формулам:

Например, вычислим некоторые элементы таблицы :

Полученная СТ2 следующая:

БП СП						B
Z

6. В Z строке есть отрицательные элементы, следовательно оптимальное решение не найдено и необходимо выполнить симплекс преобразование для СТ2

7. Рассмотрим СТ2:

БП СП						B
Z

8. Выбираем разрешающий столбец l, соответствующий наименьшему отрицательному элементу в Z строке:

Следовательно, .

БП СП						B
Z

9. Выбираем разрешающую строку k, которая соответствует наименьшему положительному из отношений элементов правой части уравнений (элементы столбца B) на соответствующие элементы разрешающего столбца:

Следовательно, , так как минимальное положительное отношение соответствует второй строке.

БП СП						B
Z

10. Элемент стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки называется разрешающим элементом :

11. Переходим к новой симплекс таблице СТ2 по следующим правилам:

    1. Меняем местами СП и БП соответствующие разрешающему элементу.

БП СП						B
Z

2. На месте разрешающего элемента в новой таблице стоит величина ему обратная:

БП СП						B
Z

3. Все элементы разрешающей строки делятся на разрешающее число, включая элемент последнего столбца:

БП СП						B
	1
Z

4. Все элементы разрешающего столбца делятся на разрешающее число, включая элемент последней строки, с обратным знаком:

БП СП						B
	1
Z			2

5. Все остальные элементы матрицы вычисляются по формулам:

Например, вычислим некоторые элементы таблицы:

Полученная СТ2 следующая:

БП СП						B
	0
	1
Z	6	0	2	0	0	20

12. В Z строке нет отрицательных элементов, следовательно, оптимальное решение найдено и максимум целевой функции для заданной системы ограничений равен 20 при этом , (см столбце свободных членов).

13. Также необходимо определить при каких значениях достигается максимум целевой функции. Для этого необходимо решить следующую систему уравнений:

Данная система имеет решение только при

Ответ: Z_max=20 , ,