2.4 Задача 1

Решить задачу линейного программирования Симплекс методом:

1. Составляем первую укороченную симплекс-таблицу СТ1:

БП СП			B
	3	-2	6
	-1	2	4
	3	2	12
Z	-1	-2	0

Все элементы столбца свободных членов положительные, следовательно можно применить “Алгоритм 1 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц”

2. Выбираем разрешающий столбец l соответствующий наименьшему отрицательному элементу в Z строке:

Следовательно, .

БП СП			B
	3	-2	6
	-1	2	4
	3	2	12
Z	-1	-2	0

3. Выбираем разрешающую строку k, которая соответствует наименьшему положительному из отношений элементов правой части уравнений на соответствующие элементы разрешающего столбца:

Следовательно, , так как минимальное положительное отношение соответствует второй строке.

БП СП			B
	3	-2	6
	-1	2	4
	3	2	12
Z	-1	-2	0

4. Элемент стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки называется разрешающим элементом :

5. Переходим к новой симплекс таблице СТ2 по следующим правилам:

   1. Меняем местами СП и БП соответствующие разрешающему элементу.

БП СП			B
Z

2. На месте разрешающего элемента в новой таблице стоит величина ему обратная:

3. БП СП			B
   Z

   Все элементы разрешающей строки делятся на разрешающее число, включая элемент последнего столбца:

БП СП			B
Z

5. Все элементы разрешающего столбца делятся на разрешающее число, включая элемент последней строки, с обратным знаком:

БП СП			B
		1
		-1
Z		1

6. Все остальные элементы матрицы вычисляются по формулам:

Например, вычислим некоторые элементы таблицы :

Полученная СТ2 следующая:

БП СП			B
	2	1	10
	4	-1	8
Z	-2	1	4

6. В Z строке есть отрицательные элементы (-2), следовательно оптимальное решение не найдено и необходимо выполнить симплекс преобразование для СТ2.

7. Рассмотрим СТ2:

БП СП			B
	2	1	10
	4	-1	8
Z	-2	1	4

8. Выбираем разрешающий столбец l соответствующий наименьшему отрицательному элементу в Z строке:

Следовательно, .

БП СП			B
	2	1	10
	4	-1	8
Z	-2	1	4

9. Выбираем разрешающую строку k, которая соответствует наименьшему положительному из отношений элементов правой части уравнений на соответствующие элементы разрешающего столбца:

Следовательно, , так как минимальное положительное отношение соответствует третьей строке.

БП СП			B
	2	1	10
	4	-1	8
Z	-2	1	4

10. Элемент стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки называется разрешающим элементом :

11. Переходим к новой симплекс таблице СТ2 по следующим правилам:

    1. Меняем местами СП и БП соответствующие разрешающему элементу.

БП СП			B
Z

2. На месте разрешающего элемента в новой таблице стоит величина ему обратная:

БП СП			B
Z

4. Все элементы разрешающей строки делятся на разрешающее число, включая элемент последнего столбца:

БП СП			B
			2
Z

5. Все элементы разрешающего столбца делятся на разрешающее число, включая элемент последней строки, с обратным знаком:

БП СП			B
	-1
			2
Z

6. Все остальные элементы матрицы вычисляются по формулам:

После вычисления всех элементов таблицы СТ3 выглядит так:

БП СП			B
	-1	2	2
			3
			2
Z			8

12. В Z строке нет отрицательных элементов, следовательно, оптимальное решение найдено и максимум целевой функции для заданной системы ограничений равен 8 при этом , (см столбце свободных членов)

Ответ: Z_max=8 при этом ,