2. Задача 3

Используя геометрические построения, найти решение задачи Линейного Программирования

Решение

2. Необходимо на плоскости построить прямые, соответствующие заданным неравенствам.

Прямая, соответствующая неравенству проходит через точки

и

Прямая, соответствующая неравенству проходит через точки

и

Прямая, соответствующая неравенству проходит через точки

и

2. Строим на плоскости прямые, соответствующие данным прямым.

2. Определяем ОДЗ (Область допустимых значений) данной системы неравенств. ОДЗ- это многогранник, ограниченный заданной системой неравенств, каждая точка которого удовлетворяет всем неравенствам ( условиям). В данном случае ОДЗ – полупространство.

На данном графике также обозначены области, удовлетворяющие условиям .

Таким образом, ОДЗ, удовлетворяющая всем условиям следующая:

2. Строим вектор целевой функции Z. Для этого необходимо построить линию уровня целевой функции, где Z=0, а затем определить в какую сторону целевая функция возрастает.

Линия уровня целевой функции проходит через точки и

Чтобы определить градиент возрастания целевой функции можно взять две точки выше и ниже линии уровня целевой функции , подставить данные значения в уравнение целевой функции и посмотреть, в какой точке значение больше нуля.

В нашем случае можно взять две точки: и :

Таким образом целевая функция возрастает вверх ( см. рисунок), а вниз соответственно убывает.

2. Мысленно передвигая параллельно линию уровня целевой функции вверх, нужно определить крайнюю точку ОДЗ, которую пересекают линии уровня целевой функции.

Для данной ОДЗ крайней точкой, в которой заданная целевая функция достигает минимума, является точка D. Из графика следует, что координаты точки D

Подставив координаты точки D в , получаем значение минимума целевой функции на заданном ОДЗ:

Ответ:

4. Задача 4

Используя метод исключения переменных и геометрические построения, найти решение задачи Линейного Программирования:

Решение

4. Из третьего ограничения можно выразить :

.

C учетом условия имеем:

Замечание: В данном случае из третьего ограничения можно выразить любую из переменных , или .

4. Подставим выражение для в первое ограничение :

4. Подставим выражение для во второе ограничение :

4. Подставим выражение для в целевую функцию :

Свободным членом на данном этапе можно пренебречь, тогда перейдем к целевой функции вида:

4. Таким образом, после применения метода исключения переменных от исходной задачи перейдем к задаче вида:

Данная задача может быть решена на плоскости графическим методом решения задач линейного программирования.

4. Необходимо на плоскости построить прямые, соответствующие заданным неравенствам.

Прямая, соответствующая неравенству проходит через точки

и

Прямая, соответствующая неравенству проходит через точки

и

Прямая, соответствующая неравенству проходит через точки

и

4. Строим на плоскости прямые, соответствующие данным прямым.

4. Определяем ОДЗ (Область допустимых значений) данной системы неравенств. ОДЗ- это многогранник, ограниченный заданной системой неравенств, каждая точка которого удовлетворяет всем неравенствам ( условиям).

На данном графике также обозначены области, удовлетворяющие условиям .

Таким образом, ОДЗ, удовлетворяющая всем условиям следующая:

4. Строим вектор целевой функции . Для этого необходимо построить линию уровня целевой функции, где , а затем определить в какую сторону целевая функция возрастает.

Линия уровня целевой функции проходит через точки и .

Чтобы определить градиент возрастания целевой функции можно взять две точки выше и ниже линии уровня целевой функции , подставить данные значения в уравнение целевой функции и посмотреть, в какой точке значение больше нуля.

В нашем случае можно взять две точки: и :

Таким образом целевая функция возрастает вверх ( см. рисунок), а вниз соответственно убывает.

4. Мысленно передвигая параллельно линию уровня целевой функции вверх, нужно определить крайнюю точку ОДЗ, которую пересекают линии уровня целевой функции.

Для данной ОДЗ крайней точкой, в которой заданная целевая функция достигает максимума, является точка D. Из графика следует, что координаты точки D .

Подставив координаты точки D в выражение для нахождения , получаем:

Далее определяем максимум исходной целевой функции в точке D:

Ответ: