Стационарное уравнение Шредингера

Требуется найти оператор энергии для частицы, которая движется вдоль оси х со скоростью v_x и энергией E в поле с потенциальной энергией V. Полная энергия частицы H равна сумме ее кинетической и потенциальной V(x) энергий:

H =m v_x²+V(x).

Воспользуемся тем, что импульс p_x= m v_x и выразим кинетическую энергию через импульс:

H =  +V(x).

Учитывая, что оператор импульса p_x ≡  получим

H ≡ +V(x). (оператор энергии)

Чтобы найти собственные значения этого оператора надо решить уравнение для собственных значений.

.

Удовлетворяющие данному уравнению значения E являются собственными числами оператора энергии, то есть совпадают со всевозможными допустимыми значениями энергии материальной точки. Если мы перенесем все в левую часть, то получим частный вид уравнения Шредингера:

+[E — V(x)] ψ = 0.

Это стационарное уравнение Шредингера, решение которого зависит от вида потенциала V(x). Если предположить, что частица движется свободно, то есть, что потенциальная энергия V(x)=0, можно найти частный вид решения этого уравнения: ψ(х)  = х.

Видно, что решение этого уравнения — мнимая величина, но физическая величина должна быть вещественной. Мнимая величина не имеет физического смысла. Какой смысл имеет ψ – функция (волновая функция) до сих пор остается открытым вопросом. Проблема интерпретации этого результата называется проблемой ψ – функции. Физическую интерпретацию получил лишь квадрат ψ – функции:

|ψ|² = ψ* ψ.

Он имеет смысл плотности вероятности обнаружить частицу в данной области пространства.

Амплитуда вероятности

Обычная вероятность описывает некоторую систему, которая может находиться в различных альтернативных состояниях. Вероятность – это действительное число, которое изменяется в пределах от нуля до единицы 0 ≤ p ≤ 1. Понятие вероятности в квантовой механике аналогично классическому, с той лишь разницей, что р – комплексное число.

Вернемся к эксперименту с двумя щелями (рис. 5.2.). Какова классическая вероятность найти электрон в точке u? Если открыта только верхняя щель, она равна произведению вероятностей того, что электрон попадет из точки s в точку t , а из точки t в точку u.

P(s,t)× P(t,u)

Если открыта только нижняя щель, она равна произведению вероятностей того, что электрон попадет из точки s в точку b , а из точки b в точку u.

P(s,b)× P(b,u)

Если открыты обе щели, то полная вероятность равна сумме этих двух вероятностей

P(s,u) = P(s,t)× P(t,u)+ P(s,b)× P(b,u)

В квантовой механике правила вычислений будут аналогичными, но вместо вероятности будет стоять амплитуда вероятности.

A(s,u) = A(s,t)× A(t,u)+ A(s,b)× A(b,u)

Как можно интерпретировать амплитуду вероятности? Комплексное число z=x+iy можно представить, в виде вектора с началом в точке O и концом в точке (x,y) на комплексной плоскости (см. рис. 5.3.).

Для получения классической вероятности надо взять квадрат модуля амплитуды |z|² = x²+y², который является вещественным числом и, если необходимо, нормировать.

Если открыта только одна щель, то амплитуда того, что электрон попадет на экран, равна произведению амплитуд, что он из точки s попадет в точку t, а из точки t попадет в точку u: А(s, t)*А(t, u). Если открыта другая щель, то амплитуда будет равна А(s, b)*А(b, u). Квадрат модуля произведения равен произведению квадратов |zw|² = |z|²|w|²,

Если открыт более чем один маршрут, надо образовать суммы. Сумма комплексных чисел зависит от угла между ними |w+z|² = |w|²+|z|²+2|z||w|cos θ, где –1<cos θ<1.

В тех областях экрана, где фазы колебаний совпадают, cos θ = 1 и волны усиливают друг друга. Освещенность в таких местах экрана возрастает в 4 раза. Там где волны находятся в противофазе cos θ = –1 и волны гасятся, образуя темную полосу нулевой освещенности. В промежуточных положениях освещенность убывает пропорционально разности амплитуд.