Операторы координаты и импульса

Еще Ньютон предложил описывать механические системы через координату и импульс. В квантовой механике для описания движения микрочастицы также достаточно определить операторы координаты и импульса. Шредингер предложил следующие операторы для описания координаты и импульса.

x≡x (оператор умножения на координату)

p_x≡ (оператор дифференцирования по х, умноженный на )

Оба оператора действуют на пространстве функций состояний квантовой системы, действие оператора соответствует измерению соответствующей величины. В отличие от классической механики, где измерение не меняет существенным образом состояния измеряемой системы, измерение в микромире изменяет состояние квантовой системы и это изменение состояния описывается соответствующими операторами.

Заметим, что операторы координаты и импульса не коммутируют, т. е. не перестановочны, их коммутатор:

p_xx-xp_x=.

Не перестановочность операторов означает, что нельзя одновременно получить информацию о координате и импульсе частицы. Из неперестановочности операторов следует невозможность получить точную информацию об обеих характеристиках системы в данный момент времени. Невозможность одновременно получить информацию о сопряженных величинах выражает

Принцип неопределенности Гейзенберга

Принцип неопределенности гласит: произведение неопределенности значения координаты х центра инерции системы и неопределенности проекции импульса p на ось х не превосходит по величине постоянной Планка:. Аналогичные неравенства выполняются для любой пары переменных, операторы которых не коммутируют, например для энергии и времени: .

Этот принцип отражает объективные свойства материи, он не связан с несовершенством измерительной техники. Измерение всегда возможно только при взаимодействии системы с измерительным прибором. Например, чтобы узнать положение макроскопического тела, его следует осветить так, чтобы его можно было увидеть или сфотографировать. В микромире это взаимодействие приводит к возмущению движения системы. Но если таким же образом попытаться измерить положение микрочастицы, она изменит свой импульс. Чтобы точнее определить положение электрона мы должны использовать свет с малой длиной волны, т. е. фотоны с большой энергией, соответственно, тем сильнее изменяется импульс электрона. Чтобы точнее измерить импульс, мы должны использовать свет с малой энергией, то есть большой длиной волны, но тем неопределенней значение координаты.

Принцип неопределенности задает максимальную теоретическую точность, которую можно достигнуть при измерении. Так как он противоречит детерминизму, принятому в классической механике, данный принцип вызывал много споров, так как фактически он провозглашал необходимость отказа от классической теории причинности в области атомных явлений. Одно из толкований принципа неопределенности можно рассматривать как компромисс между строгой причинностью и полным индетерминизмом. Это толкование состоит в том, что принцип неопределенности является ограничением классической точки зрения, согласно которой атомные системы можно описывать независимо от средств наблюдения.

Данное толкование носит название принципа дополнительности и было предложено Бором в 1928 г. Принцип дополнительности гласит: получение информации о координате неизбежно связано с потерей информации об импульсе из-за влияния измерительного прибора, который приводит к неконтролируемому изменению импульса. То есть, свойства наблюдаемых частиц зависят от способа наблюдения. Знание одного свойства или аспекта поведения системы исключает знание ряда других свойств.