-
Параболические уравнения
Данный
тип уравнений рассмотрим на примере
одномерного нестационарного уравнения
теплопроводности (7.3.1) с граничными
(7.3.2) и начальными условиями (7.3.3),
описывающего процесс установления
температуры в изолированном стержне,
имеющем на концах постоянную температуру
и
и заданное начальное распределение
температуры вдоль стержня
: 
, 
(7.3.1)
, 
, 
(7.3.2)
(7.3.3)
Для аппроксимации уравнения (7.3.1) используем конечные разности (7.1.2) и (7.1.4)
Обозначим
.
После преобразований получаем явную
четырехточечную сеточную схему, в
которой значение функции на
слое по времени выражается через три
соседних значения на нижнем,
-ом слое:
(7.3.4)
Формула
(7.3.4) позволяет последовательно найти
все значения сеточной функции, начиная
со слоя
,
на котором заданы начальные условия
(7.3.3). Однако вычисления по этой формуле
устойчивы только в том случае, если
выполняется условие
.
Это накладывает жесткие ограничения
на шаг сетки по времени, обязывая выбирать
этот шаг намного меньшим, чем шаг по
пространственной координате, что
существенно увеличивает время расчета
и ограничивает применимость явной
схемы.
Для аппроксимации уравнения (7.3.1) может быть использована левая конечная разность (7.1.2)
,
что приводит к неявной четырёхточечной
разностной схеме 
,
(7.3.5) которая устойчива при любых
соотношениях шагов сетки.
Из
(7.3.5) следует, что для каждого слоя
по времени значения неизвестной сеточной
функции
,
связаны СЛАУ с трехдиагональной матрицей.
В этой матрице на главной диагонали
находится значение
,
а на двух соседних диагоналях -
.
Значение на главной диагонали близко
к
,
т.к. значение
,
как правило,
.
Вектор в правой части (7.3.5)(при постоянном
значении
)
известен из вычислений на предыдущем
шаге по времени и входит в правую часть
СЛАУ.
Последовательно
решая СЛАУ (7.3.5), начиная со слоя
,
можно вычислить сеточную функцию во
всей области решения. Система (7.3.5) может
быть решена как стандартным методом (
т.к. порядок системы не слишком велик -
), так и специальными методами применяемыми
для решения систем с трехдиагональными
матрицами, например, методом прогонки
[2].
рис.2
На
рис.2 представлен расчет установления
температуры в стержне, проведенный по
неявной схеме (7.3.5), при следующих
начальных и граничных условиях: 
,
;
,
,
;
, 
.
Шаги сетки по времени и по пространственной
координате
,
.
При данном значении
расчеты по явной схеме (7.3.4) были бы
невозможны из-за большой неустойчивости.
Число шагов по
и по
соответственно M=10,
N=100.
-
Уравнения эллиптического типа
Двумерные
краевые задачи для уравнений данного
типа рассмотрим на примере уравнений
Лапласа, Пуассона и Гельмгольца.
Обозначим, как обычно, оператор
Лапласа
Тогда
указанные уравнения имеют вид: 1.Уравнение
Лапласа
2.Уравнение
Пуассона
3.Уравнение
Гельмгольца
Граничные
условия задаются на границе области
: 
,в
частности, на границе прямоугольника
:
,
,
,
