7. Численное решение начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных

Рассматриваются простейшие уравнения математической физики гиперболического, параболического и эллиптического типов с начально-краевыми условиями для дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП). Задачи такого типа возникают в физике, технике, других прикладных науках.

Для численного решения начально-краевых задач для ДУЧП используется метод конечных разностей, основанный на приближенных формулах для первой и второй производной функций. При этом начально-краевая задача заменяется на сеточные уравнения, связывающие значения искомой функции в узлах сетки.

1. Конечные разности.

Область решения на плоскости двух переменных, например  , разбивается на дискретную сетку из узлов , подмножества целых чисел. Например, в прямоугольнике узлы сетки: , (7.1.1)

где шаги сетки по координатам и соответственно, целые числа.

Неизвестная функция , участвующая в краевой задаче, заменяется искомой сеточной функцией на узлах сетки. Частные производные по координатам заменяются соответствующими конечными разностями, которые могут быть различного порядка точности по шагу сетки вдоль координаты. Пусть шаг сетки вдоль рассматриваемой координаты, значение функции в рассматриваемой точке последующие и предыдущие значения сеточной функции по данной координате. Тогда первая производная по этой координате может быть заменена правой или левой конечной разностью порядка : (7.1.2)

или центральной конечной разностью порядка : (7.1.3)

Можно записать также для первой производной конечную разность порядка :

Центральные конечные разности для второй производной порядка и выглядят следующим образом: (7.1.4)

Например, для первой производной по времени можно принять правую конечную разность порядка : , а для второй производной по координате центральную конечную разность порядка :

2. Гиперболические уравнения

В качестве примера гиперболического уравнения рассматри-вается волновое уравнение колебаний эластичной струны , (7.2.1) с граничными условиями (закрепление струны на концах) , (7.2.2) и начальными условиями первого рода для функции (отклонение от положения равновесия) и второго рода для её производной (скорости отклонения)

, для (7.2.3)

На сетке (7.1.1) сеточная функция удовлетворяет следующим соотношениям, следующим из (7.2.1) и (7.1.4)

Обозначим . После небольших преобразований получаем явное выражение для значения сеточной функции на слое по времени через её значения на и слоях:

(7.2.4) для

Сеточный шаблон вычислений по формуле (7.2.4) является пятиточечным, т.к. связывает между собой пять соседних узлов сетки вокруг т. , включая её. Для того, чтобы вычисления по формуле (7.2.4) были устойчивы, необходимо выполнение соотношения . Таким образом, условия устойчивости вычислений по явной схеме (7.2.4) накладывают ограничения на шаг по времени при заданном шаге по пространственной координате.

Для определения значений сеточной функции на двух начальных слоях и используем заданные начальные условия (7.2.2), (7.2.3) и правую конечную разность порядка для аппроксимации первой производной в начальной точке. Использование конечной разности первого порядка точности вносит на начальном этапе ошибку большую, чем при аппроксимации уравнения во внутренних точках. В результате получаем для значений на слоях , (7.2.5)

На рис. 1 показан полупериод колебаний струны рассчитанный по формулам (7.2.4), (7.2.5) при следующих исходных данных, граничных и начальных условиях: , , , , , . Шаги сетки по пространственной координате и по времени ,

Число шагов по и по соответственно

рис.1.