4.3.1. Оценка устойчивости системы по изменению аргумента

характеристического полинома (принцип аргумента)

В основу частотных критериев устойчивости положен известный в теории функций комплексного переменного принцип аргумента.

Согласно теореме Безу характеристический полином

D(p) = a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + … + a₀ (5.10)

может быть представлен в виде

D(p) = a_n(p – р₁)(р – р₂) … (р – р_n) (5.11)

где р₁, р₂, … , р_n – корни характеристического уравнения (5.1).

Положим в (4.10) р = jω, где ω – вещественная величина, которая может принимать значения от -∞ до +∞, тогда

D(jω) = a_n(jω – p₁)(jω – p₂) … (jω – p_n) (5.12)

Каждый из сомножителей (jω – p_i), входящих в (5.12), является комплексной величиной, которая может быть представлена на комплексной плоскости корней характеристического уравнения (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Геометрическое представление комплексной величины (jω – pi)

Аргумент D(jω) равен сумме аргументов сомножителей (5.12)

(5.13)

Изменение аргумента Д(jω) при изменении ω от -∞ до +∞ будет равно

(5.14)

где ∆ обозначает изменение.

Из рис. 4.2 видно, что каждому устойчивому корню в (5.14) соответствует ∆arg(jω – p_i) = π , а каждому неустойчивому – ∆arg(jω –

–p_i) = -π.

a)	б)
Рис. 5.2. Изменение arg(jω – Pi) при изменении ω от -∞ до + ∞

Допустим, что характеристическое уравнение (4.1) имеет m корней в правой полуплоскости и (n-m) – в левой. Тогда в общем случае

∆argD(jω) = (n-m) π – m π = (n-2m) π (4.15)

Уравнение (4.15) представляет собой выражение принципа аргумента.

Если все корни характеристического уравнения являются устойчивыми, то

∆argD(jω) = n π (4.16)

-∞ ≤ ω ≤ +∞

Из (4.16) следует, что для оценки устойчивости системы, имеющей характеристическое уравнение n-го порядка, необходимо в характеристический полином D(р) подставить р = jω и подсчитать изменение аргумента D(jω) при изменение ω от -∞ до +∞. Если оно окажется равным nπ, то это будет свидетельствовать об устойчивости.

5.3.2. Критерий Михайлова

В 1936 г. А. В. Михайловым был предложен критерий устойчивости, являющийся геометрической интерпретацией принципа аргумента.

Изменение аргумента характеристического полинома можно определить путем построения в комплексной плоскости годографа вектора D(jω) при -∞ ≤ ω ≤ +∞. Этот годограф называют годографом Михайлова.

Уравнение годографа имеет вид:

D(jω) = a_n(jω)ⁿ + a_n-1(jω)^n-1 + … + a₀ = P(ω) + jQ(ω) (5.17)

где

P(ω) = а₀ – а₂ω² + а₄ω⁴ – … (5.18)

Q(ω) = а₁ω – а₃ω³ + а₅ω⁵ – … (5.19)

Вещественная часть D(jω) является четной функцией, т.е.

P( – ω) = P(ω) (5.20)

Мнимая часть D(jω) является нечетной функцией, т.е.

Q( – ω) = – Q(ω) (5.21)

С учетом (4.20) и (4.21) можно записать:

D( – jω) = P(ω) – jQ(ω) (5.22)

Это означает, что комплексные величины D(jω) и D(-jω) являются сопряженными, т.е. годограф D(jω) а диапазоне -∞ ≤ ω ≤ +∞ является симметричным относительно оси вещественных величин комплексной плоскости.

Поэтому

∆argD(jω) = ∆argD(jω) (5.23)

0 ≤ ω ≤ +∞ – ∞ ≤ ω ≤ 0

С учетом (4.23) выражение (4.15) можно записать как

∆argD(jω) = (n-2m) π/2 (5.24)

0 ≤ ω ≤ +∞

а условие устойчивости (4.16) примет вид

∆argD(jω) = n π/2 (5.25)

0 ≤ ω ≤ +∞

Из (4.25) следует, что САУ будет устойчивой, если при изменении ω от 0 до +∞ годограф характеристического полинома D(jω), начинаясь на положительной полуоси вещественных величин, последовательно проходит в положительном направлении n квадрантов комплексной плоскости, где n – порядок характеристического полинома.

На рис. 5.3 показаны примеры годографоф Михайлова для устойчивых (а) и неустойчивых (б) САУ.

a)	б)
Рис. 5.3. Годографы Михайлова устойчивых (а) и неустойчивых (б) САУ

Из рис. 5.3, а видно, что годограф Михайлова при увеличении ω поочередно пересекает то ось мнимых, то ось вещественных величин комплексной плоскости, т.е. имеет место определенное чередование корней уравнений

Q(ω) = 0 и р(ω) = 0 (5.26)

Для устойчивой САУ это чередование таково, что

Q(0) = 0, р(0) > 0; р(ω₁) = 0, Q(ω₁) > 0;

Q(ω₂) = 0, р(ω₂) < 0; р(ω₃) = 0, Q(ω₃) < 0;

Q(ω₄) = 0, р(ω₄) > 0; р(ω₅) = 0, Q(ω₅) > 0;

и т.д.

где 0 < ω₁ < ω₂ < ω₃ < ω₄ < ω₅ .

Если в результате решения уравнения (5.26) окажется, что значения ω_i, соответствующие корням этих уравнений, чередуются в указанном порядке, то это свидетельствует об устойчивости САУ. Для неустойчивых САУ порядок чередования корней уравнений (4.26) может быть любым иным.

По сравнению с алгебраическими критерий Михайлова обладает большой наглядностью. Например, если годограф Михайлова проходит через квадранты вблизи начала координат комплексной плоскости, то можно заключить, что САУ находится вблизи границы устойчивости, и наоборот.

77