5.2.1. Критерий Рауса
Необходимые и достаточные условия устойчивости системы любого порядка на основе анализа алгебраических выражений из коэффициентов характеристического уравнения любого порядка без его решения впервые были найдены и сформулированы в 1877 году английским математиком Раусом.
Сущность критерия Рауса заключается в следующем. Пусть имеется характеристическое уравнение
anpn + an-1pn-1 + … + a0 = 0 (4.1)
Раус составил таблицу коэффициентов (табл. 4.1), используя следующие правила.
Первая строка таблицы заполняется коэффициентами характеристического уравнения с индексами n-2i, где i=0, 1, 2, … Во второй троке записываются значения коэффициентов с индексами на единицу меньше, т.е. n-2i-1.
Любой из элементов остальных строк таблицы Рауса Сkj, где k обозначает номер столбца, а j – номер строки, в которой находится элемент, можно найти по формуле
Сkj = Сk+1, j-2 – rj∙Ck+1, j-1 (4.2)
где
,
j
≥ 3 (4.3)
Число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.
Раус доказал, что для того, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы 5.1 были отличны от нуля и имели одинаковый знак, т.е., например, при ai > 0
C11 > 0; C12 > 0; C13 > 0; C14 > 0; … (4.4)
Если не все неравенства (5.4) выполняются, т.е. не все элементы первого столбца таблицы положительны, то система неустойчива, а число неустойчивых корней (с положительной вещественной частью) равна числу перемен знаков в первом столбце.
Если неравенства (4.4) выполняются, т.е. все корни характеристического уравнения устойчивы, то, как следует из 4.2, все коэффициенты характеристического уравнения будут положительными. Поэтому положительность (точнее, одинаковый знак) всех коэффициентов характеристического уравнения является необходимым условием устойчивости системы. Но не во всех случаях это условие является достаточным.
Можно также показать, что если последний (нижний) элемент первого столбца таблицы Рауса равен нулю, то это свидетельствует о том, что система находится на границе апериодической устойчивости. Равенство нулю промежуточного элемента первого столбца свидетельствует о границе колебательной устойчивости.
Таблица 4.1
|
Значение r |
Номер строки |
Номер столбца |
|||
|
1 |
2 |
3 |
… |
||
|
|
1 |
|
|
|
… |
|
|
2 |
|
|
|
… |
|
|
3 |
|
|
|
… |
|
|
4 |
|
|
|
… |
|
|
5 |
|
|
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Критерием устойчивости Рауса достаточно просто пользоваться независимо от порядка характеристического уравнения. Для расчета элементов таблицы удобно использовать ЭВМ.
Недостатком критерия Рауса является малая наглядность, т.к. при использовании его затруднительно судить о том, в какой степени устойчива (или неустойчива) система, т.е. как далеко отстоит от границы устойчивости.