3. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Пример 1. Доказать тождество

Решение. Используем формулу , где , , получим

Тождество доказано.

Пример 2. Упростить выражение

Решение.

Использовалось основное тригонометрическое тождество .

Пример 3. Решить уравнение.

При решении тригонометрических уравнений не забудьте обратить внимание на область определения и отбор корней, которые входят в эту область.

Решение.

.

При нечетном n(n=2k-1) получается значения не удовлетворяющие ОДЗ. Поэтому корнями уравнения будут значения при четном n(n=2k), т. е.

Ответ: .

4. Решить задачу

Задача 1. Первое из неизвестных чисел составляет 140 % второго, а отношение первого к третьему равно 14/11. Найти эти числа, если разность между третьим и вторым на 40 единиц меньше числа, составляющего 12,5 % суммы первого и второго чисел.

Решение:

Пусть второе число х, тогда первое число -1,4х; третье – .

Составляем уравнение 1,1x – x = 0,125(1,4x + x) – 40.

Решая уравнение, получим x = 200; 1,4x = 280, 1,1x = 220.

Ответ: 280; 200; 220.

Задача 2. Найти длину основания равнобедренного треугольника, площадь которого равна 25 см², а углы  при основании таковы, что tg = 4.

Дано: ΔАВС равнобедренный;

S_ΔАВС = 25 см²; tgα = 4.

Найти: АС

Решение

В треугольнике АВС ВДАС, АВ = ВС. По свойству равнобедренного треугольника АД = ДС. Обозначим ВД = h, АД = а, тогда tg= h/a и S_АВС=1\2h 2a= a h.

Получили систему уравнений ,

h = 4a; 4a² = 25, a = 2,5 или а = -2,5 (не подходит)

Следовательно, АС = 2а = 5.

Ответ: 5 см. Варианты индивидуальных заданий

Задание 1. Выполнить указанные действия

1. .

2..

3..

4..

5..

6..

7..

8..

9..

10..

11..

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

Задание 2. Выполнить указанные действия

1. .

2. .

3.

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23.

24.

25.

Задание 3. Упростить выражения

1..

2..

3..

4..

5..

6..

7..

8..

9..

10..

11..

12..

13..

14.<a<1.

15..

16..

17..

18..

19..

20..

21. а>0.

22..

23..

24., а>0.

25..

Задание 4. Решить уравнение

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. 

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

Задание 5. Решить систему уравнений

1. 2.

3.. 4..

5. 6..

7.. 8..

9.. 10..

11.. 12..

13.. 14..

15.. 16..

17.. 18..

19.. 20..

21.. 22..

23.. 24..

25..

Задание 6. Решить задачу

1. Один завод выполняет заказ на 4 дня быстрее, чем другой. За какое время может выполнить заказ каждый завод, работая отдельно, если при совместной работе за 24 дня они выполняют заказ в 5 раз больший?

2. В колхозе засеяно 960 га земли; пшеницей – в 2 раза больше, чем кукурузой и рожью вместе. Сколько земли засеяно отдельно пшеницей, рожью и кукурузой, если рожью засеяно на 120 га больше, чем кукурузой?

3. Число десятков двузначного числа втрое больше числа единиц. Если цифры этого числа переставить, то получится число, меньше искомого на 36. Найти число.

4. Две бригады, работая одновременно, обработали участок земли за 12 часов. За какое время могла бы обработать этот участок каждая бригада в отдельности, если скорости выполнения работы бригадами относятся как 2:3?

5. Сумма первых трех членов пропорции равна 58. Третий член составляет 2/3, а второй ¾ первого члена. Найти четвертый член пропорции.

6. Вес сливок составляет 21 % веса молока, масло составляет 25 % веса сливок. Сколько надо взять молока, чтобы получить 7 кг масла?

7. В зрительном зале клуба было 320 мест. После того, как число мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавили еще 1 ряд, в зале стало 420 мест. Сколько рядов в зрительном зале?

8. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если цифры его переставить, то получится число больше искомого на 18. Найти число.

9. Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если к этому числу прибавить 63, то получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найти это число.

10. Отношение числа рабочих 1 и 2 цехов завода равно соответственно 3:2. Если из 1 цеха перевести 18 рабочих во 2 цех, то отношение станет 5:4. Сколько рабочих в каждом цехе?

11. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.

12. Автомобиль прошел путь от города до деревни со скоростью 60 км/ч. 75 % обратного пути он прошел с прежней скоростью, а остальной путь со скоростью 40 км/ч и затратил на обратный путь на 10 мин. больше. Найти расстояние от города до деревни.

13. Колонна демонстрантов движется по улице со скоростью 3 км/ч. Велосипедист, двигаясь со скоростью 15 км/ч навстречу колонне, употребил 2 мин., для того чтобы проехать от начала до конца колонны. Определить длину колонны.

14. Два экскаватора вырыли яму за 12 дней. Первый экскаватор один мог бы выполнить эту работу в 1,5 раза быстрее, чем один второй. За сколько дней каждый из экскаваторов мог бы выполнить один всю эту работу?

15. Пароход прошел 100 км по течению реки и 64 км против течения, затратив на это 9 часов. В другой раз он прошёл за это время 80 км по течению и 80 км против течения. Определить скорость парохода в стоячей воде.

16. На прокорм 8 лошадей и 15 коров отпускается ежедневно 162 кг сена. Сколько сена выдавали ежедневно каждой корове и каждой лошади, если 5 лошадей получили на 3 кг сена больше, чем 7 коров?

17. Доска прямоугольной формы имеет площадь, равную 4 500 см². От нее отрезали прямоугольник той же ширины и длинной 120 см. Оставшаяся часть – квадрат. Найти сторону этого квадрата.

18. Числитель дроби на один больше знаменателя. Если к числителю прибавить 3, а к знаменателю прибавить 18, то получится дробь меньше исходной на 1. Найти исходную дробь.

19. В зрительном зале клуба было 160 мест. При расширении зала число мест в каждом ряду увеличили на 2, а число рядов увеличили на 1. В результате стало на 96 мест больше. Сколько было рядов?

20. Моторная лодка прошла по течению реки 45 км и против течения 22 км, затратив на весь путь 5 часов. Найти скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки 2 км/ч.

21. Сколько воды нужно выпарить из 500 кг целлюлозной массы, содержащей 85 % воды, чтобы получить массу с содержанием 75 % воды?

22. Найти три числа, если первое составляет 80 % второго, второе относится к третьему как 0,5:9/20, а сумма первого и третьего на 70 больше второго числа.

23. В двух бидонах находится 70 литров молока. Если из 1 бидона перелить во 2-й 12,5 % молока, находящегося в 1 бидоне, то в обоих бидонах будет поровну. Сколько молока в каждом бидоне?

24. Найти сумму трех чисел, зная, что Ш:1,4,5:3, Ш составляет 40 % П, а сумма 1и 2 равна 400.

25. Свежие грибы содержат по весу 90 % воды, а сухие 12 %. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Задание 7. Решить неравенство

1. (x²-1)(x+3)<0.

2. (1-x²)(x+3)>0.

3. (x-3)²(x²-25)≥0.

4. (x+3)(x²-9)<0.

5. (x+3)(x²-16)≤0.

6. x²>3.

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. (x²+1)(x²+x+1)(x+5)³>0.

16. (x+4)²(x+5)²(x-6)(x+3)≤0.

17. x²+x++1≤0.

18. x²-4+3>0.

19. .

20. (x+2)>0.

21. (x-2)<0.

22. .

23. .

24. .

25. x²-5x≥0.

Задание 8. Решить уравнение

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. .

12. . 13. .

14. . 15. .

16. . 17. .

18. . 19. .

20. . 21. .

22. . 23.. .

24. . 25. .

Задание 9. Решить уравнение

1. .

2. lg=.

3. .

4. lgx=6-lg100+lgx.

5. .

6. log(3+1)-log(1-3)-2x=log(.

7. log(2x+2x-3x+1)=3.

8. 2lg2+lg(5+1)=2+lg(5+5).

9. lg+11lg5=11.

10. lg(3+73)+lg10=2.

11. .

12. 2lglgx=lg(3-2lgx).

13. 2x-lg(25+4x-16)=lg4.

14. lg(2+x-41)=x(1-lg5).

15. lg-3lg=lg+2.

16. lg(x-1)-1,25 lg(x-1)= - 4.

17. log+.

18. (log5+2)logx=1.

19. log.

20. (1+.

21. lg10+.

22. .

23. .

24. lg(lgx)+lg(lgx-1)=1.

25. 3.

Задание 10. Решить неравенство

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. 3^4ч+8-4·3^2ч+5 <-27.

19. 3^x(x²-2x-3)<9x²-18x-27. 20. 2^x+1-2^2x+1+16≥0.

21. (0,2)>25. 22. 81^x-1-5^2x-2-4·9^2x-3<4·5^2x-3.

23. >243. 24. x²·2^x+x·2^x-1>0.

25. 2^x+2-2^x+3-2^x+4>5^x+1-5^x+2.

Задание 11. Решить неравенство

1. log₁₆x + log₄x + log₂x < 7.

2. log_0,1  0.

3. log₃(x-1) – log₃(2x-5) > 1.

4. log₃(2x-5) < 1.

5. log_1/2x + log_1/2(x+1) < log_1/2(2x+6).

6. 2log₈(x-2) – log₈(x-3) >.

7. log_(x+27) – log_(16-2x) < log_x.

8. log_0,3(x²-5x+7) > 0.

9. - > 1.

10. log₃(x-1)² – log₃(2x-5) > 1.

11. log₃log₅(25-4x) < 1.

12. lg + 0,5lg(3x-5) >.

13. < 1.

14. log₂log_1/2(x²+2x-) < 0.

15. log₄(x+7) > log₂ (x+1).

16. log₂(9^x-1+7) > 2+log₂(3^x-1+1).

17. 0,5(lg+lgx +lg) 1- lg2.

18..

19..

20..

21..

22. .

23..

24..

25..

Задание 12. Упростить выражение

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

Задание 13. Доказать тождество

1. . 2..

3. . 4..

5. . 6..

7. . 8..

9. . 10..

11.. 12.

13. .

14. 

15. 

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. 2.

24. .

25. tg.

Задание 14. Решить уравнение

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

Задание 15. Решить уравнение

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

Задание 16. Решить задачу

1. В треугольнике основание равно 60 см, высота 12 см и медиана, проведенная к основанию, 13 см. Найти боковые стороны.

2. В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла, относятся как 40:41.

3. В равнобедренной трапеции большее основание 44 см, боковая сторона 17 см, а диагональ 39 см. Найти площадь трапеции.

4. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 8 см. Найти стороны трапеции, если угол при основании содержит 30⁰.

5. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов ее боковой стороны на расстояние 3 и 9 см. Найти стороны трапеции.

6. Катеты прямоугольного треугольника 6 и 8 см. Найти расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до центра описанной около него окружности.

7. В равнобедренный треугольник с основанием 20 см и боковой стороной 16 см вписан ромб так, что его острый угол совпадает с углом основания треугольника, а противоположная вершина лежит на боковой стороне. Вычислить сторону ромба.

8. Периметр параллелограмма равен 48 см, его высота относится как 3:5. Вычислить стороны параллелограмма.

9. Параллельные стороны трапеции 16 и 44 см, непараллельные 17 и 25 см. Найти площадь трапеции.

10. Найти отношение сторон параллелограмма, если отношение квадратов диагоналей равно 19:7 и острый угол его равен 60⁰.

11. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см, проведена касательная, параллельная основанию. Найти длину отрезка касательной, заключенного между сторонами треугольника, если высота треугольника 8 см.

12. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как 5:12, а длина ее высоты 17 см. Найти радиус описанной около трапеции окружности, если ее средняя линия равна высоте.

13. В треугольник со сторонами 10,17 и 21 см вписан прямоугольник с периметром 24 см так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найти стороны прямоугольника.

14. ВД – высота треугольника АВС, точка Е – середина стороны ВС. Найти площадь круга описанного около треугольника ДВЕ, если АВ = 30 см, ВС = 26 см, АС = 28 см.

15. Определить площадь сегмента, если периметр его равен, а дуга содержит 120⁰.

16. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, основание – 12 см. К окружности, вписанной в треугольник, проведены касательные, параллельные высоте треугольника и отсекающие от него 2 прямоугольных треугольника. Найти его стороны.

17. В круг вписана трапеция, основанием которой служат диаметр и хорда, стягивающая дугу в 60⁰. Отрезок, соединяющий середины двух непараллельных сторон трапеции, равен а. Найти площадь трапеции.

18. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезок длиной 4 и 5 см. Найти площадь треугольника.

19. Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на его основание, равна 10 см, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12 см.

20. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см. Найти площадь треугольника.

21. Через концы дуги окружности, содержащей 120^о, проведены касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и дугой, вписана окружность. Доказать, что ее длина равна длине исходной дуги.

22. Углы треугольника равны 50^о, 60^о и 70^о. На стороне, лежащей против угла в 50^о, как на диаметре, построена окружность. На какие дуги окружность разбивается точками пересечения?

23. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отложены отрезки AK=2/3 AB и AE=1/3 AD. Точки K и E соединены прямой. Найти отношение площади параллелограмма к площади треугольника.

24. Катеты в прямоугольном треугольнике относятся как 5:6, а гипотенуза равна 122 см. Найти отрезки гипотенузы, отсекаемые высотой.

25. Из внешней точки проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, длина которой составляет 2/3 внутреннего отрезка секущей. Найти длину касательной.

Задание 17. Решить задачу

1. В треугольной пирамиде две боковые грани – равные равнобедренные прямоугольные треугольники. Их гипотенузы, являющиеся боковыми ребрами пирамиды, равны а и образуют между собой угол . Найти объем пирамиды.

2. В треугольной пирамиде МАВС две боковые грани АМВ и АМС перпендикулярны к плоскости основания. Ребра АС и АВ равны, АМВ =, ВМС= α. Высота пирамиды равна h. Найти объем пирамиды.

3. найти объем и площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого а составляет с плоскостью основания угол α, а с большей боковой гранью угол .

4. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция, у которой боковая сторона равна меньшему основанию в, а острый угол равен . Угол между диагональю призмы и диагональю трапеции равен . Найти объем призмы.

5. В основании пирамиды лежит треугольник с углами α и . Все боковые ребра пирамиды равны l и наклонены к плоскости основания под углом . Найти объем пирамиды.

6. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция с боковой стороной а и острым углом . Найти объем пирамиды, если каждая боковая грань образует с основанием угол .

7. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с площадью О и углом при вершине . Плоскость. Проведенная через одну из равных сторон основания под углом к нему. Отсекает от призмы треугольную пирамиду. Найти ее объем.

8. Высота правильной четырехугольной пирамиды h, двугранный угол при основании . Найти объем и площадь полной поверхности пирамиды.

9. основанием четырехугольной пирамиды служит ромб с острым углом и меньшей диагональю d. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

10. В треугольной пирамиде все боковые ребра и два ребра основания равны а. Угол между равными ребрами основания равен . Найти объем пирамиды.

11. Через сторону а нижнего основания правильной призмы и середину противоположного бокового ребра поведена плоскость под углом к основанию. Найти объем и площадь боковой поверхности призмы.

12. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом . Две боковые грани, заключающие тупой угол основания, перпендикулярны к основанию, а две другие наклонены к нему под углом . Найти объем и площадь боковой поверхности пирамиды.

13. В основании пирамиды лежит правильный треугольник со сторонами а. Одна из боковых граней перпендикулярна к основанию, а две другие наклонены к нему под углом . Найти объем и площадь боковой поверхности пирамиды.

14. Образующая конуса l составляет с основанием угол . Найти объем описанной около пирамиды, в основании которой лежит ромб с острым углом .

15. В правильной треугольной пирамиде стороны основания а, а плоский угол при вершине . Определить объем и площадь боковой поверхности пирамиды.

16. В цилиндр с образующей l вписана пирамида так, что ее основание, являющееся правильным треугольником, вписано в основание цилиндра, а высота равна высоте цилиндра. Найти площадь боковой поверхности пирамиды, если две боковые грани ее перпендикулярны к основанию, а третья образует с ним угол

17. В основании пирамиды лежит ромб со стороной а и острым углом . Все боковые грани наклонены к основанию под углом . Найти площадь полной поверхности и объем пирамиды.

18. Основание прямой призмы служит ромб с острым углом . Сечение, проведенное через большую диагональ основания и вершину тупого угла другого основания, является прямоугольным треугольником с площадью Q. Найти объем призмы.

19. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом при вершине. Все боковые ребра пирамиды составляют с высотой угол . Найти объем пирамиды.

20. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно m и наклонено к плоскости основания под углом . Найти объем и площадь боковой поверхности пирамиды.

21. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро l образует с высотой пирамиды угол . Найти объем и площадь поверхности пирамиды.

22. Высота прямоугольного параллелепипеда Н, а его диагональ составляет с основанием угол . Найти объем параллелепипеда, если угол между диагоналями его основания равен .

23. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник с основанием а и углом при вершине. Боковое ребро равно в. Найти площадь боковой поверхности и объем призмы.

24. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания а составляет с боковым ребром угол . Найти площадь сечения, проведенного через боковое ребро и высоту.

25. В конусе, образующая которого l наклонена к основанию под углом , вписана пирамида, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с меньшим острым углом . Найти объем пирамиды.