Достатність

Нехай функція має в точці а границю за Гейне. Припустимо, що в цій точці границя за Коші не існує.

Тобто , це означає що

Розглянемо послідовність Тоді для кожного числа цієї послідовності

Перейдемо у нерівності (3) до границі при , оскільки за теоремою про границю проміжної послідовності, но з нерівності (4) випливає, що послідовність не прямує до А, тобто ми побудували послідовність, що прямує а для якої послідовність відповідних значень функції не прямує до А, це означає, що функція в точці а не має границі за Гейне, що суперечить умові теореми.

Одержана суперечність доводить

достатність.

14.Односторонні границі функції

Означення 1

Число , називають границею функції в точці х=а справа, якщо ця функція визначена у правому - околі точки а.

Для будь-якого завгодно малого

Позначають це так або

Означення 2

Число , називають границею функції в точц х=а зліва, якщо ця функція визначена у лівому - околі точки а, крім можливо самої точки.

Для будь-якого завгодно малого

Запис ,означає, що набуває значень більше від а

Запис ,означає, що набуває значень меньших від а

Якщо а=0, то у цьому випадку односторонні границі ліва і права відповідно позначають

Теорема

Для того щоб функція в очці а мала границю А, необхідно і достатньо, щоб в цій точці існували односторонні границі кожна з яких дорівнювала А.

Доведення

Необхідність

Нехай в точці а функція має границю А , за означенням границі для будь-якого завгодно малого , існує

Нерівність (1) еквівалентна сукупності нерівностей

Достатність

Нехай , тоді за означенням

Тоді, а це означає

Теорема доведена

15.Арефметичні операції над границями функцій

Теорема 1(про границю суми)

Якщо ,, де А, В – скінченні числа, то

Доведення

Нехай послідовність

За означенням границі функції за Гейне.

,, тоді за теоремою (про границю суми послідовностей), границя суми дорівнює сумі границь, тобто

Ця рівність доведена для будь-якої послідовності , де

Теорема 2 (про границю добутку):

Якщо,, де А, В – скінченні числа, то

Доведення

Розглянемо послідовність , тоді за означенням границі функції за Гейне ,

За теоремою (про границю добутку послідовностей) границя добутку дорівнює добутку границь

Оскільки ця рівність доведена для будь-якої послідовності , то

Теорема 3(про границю частки)

Якщо,, де А, В – скінченні числа причомуто

Доведення

Розглянемо послідовність , тоді за означенням границі функції за Гейне, , , причому

За теоремою (про границю частки послідовностей) границя частки дорівнює частці границь

Оскільки ця рівність доведена для будь-якої послідовності , то

16.Властивість функції, що мають границю

Теорема 1(про єдність границі функції)

Якщо функція має в точці х=а границю, то ця границя єдина

Доведення

Припустимо супротивне ,, причому

Розглянемо будь-яку послідовність

Тоді за означенням функції за Гейне одержимо, що послідовність повинна мати дві різні границі А і В але за теоремою про єдність границі послідовності це не можливо. Одержана суперечність доводить теорему.

Теорема 2 (про обмеженістьфункції, що має границю)

Якщо функція має скінченну границю в точці а, то ця функція буде обмеженою у де-якому виколотому околі а.

Доведення

Нехай , за означенням границі функції

Тоді

Отримаємо

Позначимо через , тоді

Теорема доведена.