11.Число е

Нагадаємо формулу бінома Ньютона

Розглянемо і покажемо, що вона має границю для цього треба довести, що вказана послідовність є зростаючею і обмеженою зверху.

1. Доведемо, що послідовність зростаюча:

За формулою бінома Ньютона (а=1; в=1/n) маємо

(1)

Замінивши n на n+1 одержимо

(2)

Бачимо, що в рывнянны (2) на один член більше ніж в (1). Цей член як і всі інші є додатними крім того кожний член в (2) більше відповідного члена в(1) тому, що від’ємники у (2) менше відповідних від’ємників (1), отже

Тобто - зростаюча

3. Покажемо, що данна послідовність обмежена зверху

Отже

Вказана послідовність обмежена, тоді існує границя за лемою.

12.Границя за Коші. Геом. Зміст

Нагадаємо означення функції:

Y називається функцією x, якщо

1. вказано, які значення х є припустимими, тобто визначена область визначення функції

2. кожному х з області виначення функції, за деяким правилом відповідає єдине значення у

Існує декілька способів задання функції:

Аналітичний

Графічний

Словесний

Означення

Число А називається границею функції при х->а, якщо ця функція визначена в деякому околі точки а, крім можливо самої точки а, для будь-якого завгодно малого , можно знайти , таке що для всіх х задовільнює нерівності виконується нерівність

Границю функції в точці позначають символом

Скорочено можна записати так

Або

Зауваження

1. Наведене означення називається означенням функції за Коші, або на мові “”

2. Звернемо особливу увагу на те що у нерівності , це означає, що в самій точці а функція може бути і не визначенна, або в цій точці може не виконуватись нерівності , як і у так і випадках границя функції може існувати, а може і ні.

Розглянемо геометричний зміст границі функції

Він полягає в тому, що число А є границею функції в точці а, що для точки А на інтервалі знайдеться такий виколотий - окіл точки а, що для всіх х, якого значення функції потрапляють в - окіл точки .

Означення

Число А називається границею функції при х, що прямує до , якщо ця функція визначена при всіх х, що задані нерівностью . При деякому і для будь-якого завгодно малого існує таке число , таке що для всіх виконується нерівність

Цю границю позначають так

Геометричний зміст границі функції

-М

М

0

Х

Для значення функції потрапляють в -окіл точки А у цьому випадку А є границею функції при

Зауваження

Якщо розглядати лише додатні або від’мні значення х, то можна говорити що границю функції, якщо , або .

13.Границя функції за Гейне

Означення

Число а називається границею функції при , якщо функція визначена у де-якому околі точки а, крім самої точки а і для будь-якої послідовності значень аргументу, де () послідовність відповідних значень функцій, має границю А

Зауваження

Наведене означення називається означенням функції за Гейне, або означенням границі функції на “мові послідовностеі”

Теорема

Для того, щоб існувала границя функції в точці за Коші необхідно і достатньо, щоб вона існувала за Гейне

Доведення

Необхідність

Нехай існує границя за Коші. Покажемо, що для будь-якої послідовності значень аргумента , де () послідовність відповідних значень функції має границю А за умовою (1).

Тоді відповідно заданому

Тобто за означенням (2)

А це означає, що