9.Арефметичні операції над границями послідовностей

Теорема 1 (про границю суми)

Якщо , , то має границю

Доведення

За теоремою 3 (про необхідну і достатню умови існування границі послідовностей)

Маємо

, де -нескінченно малі послідовності, тоді

Оскільки-нескінченно мала (як сума двох нескінченно малих послідовностей), то за теоремою 3

Теорема 2 (про границю добутку)

Якщо , , то має границю

Доведення

Доведення аналогічне доведенню попередньой теореми

Зауваження:

Теорему 2 можна узагальнити для скінченного числа співмножників.

Наслідок:

Сталий множник можна виносити за знак границі

Лема:

Якщо ()має скінченну границю відмінну від “0”, то послідовність

- обмежена

Доведення

Нехай

За означенням границі

або

Ми розглядаємо випадок коли

Позначимо через

Серед скінченного числа чисел вибиремо найбільше, тоді -обмежена за означенням

Випадок колидоводится аналогічно попередньому

Теорема 3(про границю частки):

Якщо , , де (, то існує границя частки

Доведення

За теоремою про необхідну і достатню умову існування границі послідовності, маємо

і - нескінченно малі послідовності.

Розглянемо

, де

За лемою оскільки послідовність має скінченну відмінну від 0 границю, то послідовність -обмежена, крім того послідовність нескінченно мала, як різниця двох нескінченно малих послідовностей, таким чином послідовність є нескінченно малою, як добуток обмеженоє послідовності га нескінченно малу.

10. Монотонні послідовності

Озн 1

-називається спадною, якщо

Озн 2

-називається не спадною, якщо

Озн 3

-називається зростаючею, якщо

Озн 4

-називається не зростаючею, якщо

Озн

Послідовності вказані в озн (1) - (4) називаються монотонними послідовностями

Приклад

Довести, що -зростаюча

Зауваження

Поняття монотонності можно поширити і на неперервій змінній.

Нагадаємо, що множина Е називається обмеженою

Множина Е – називається обмеженою зверху, якщо

Множина Е – називається обмеженою знизу, якщо

Зрозуміло, що коли множина Еобмежена, то вона обмежена зверху і знизу і навпаки.

Означення

Точною верхньою гранню множини дійсних чисел Е називається число М, таке, що

Точна верхня грань позначається символом:

Означення

Точна нижньою гранню множини дійсних чисел Е називається число m, таке що, для

1.

2.

Точну нижню грань позначаємо символом:

Лема

Якщо не порожня множина Е дійсних чисел обмежена зверху, то вона має точну верхню грань, якщо вона обмежена знизу, то вона має точну нижню грань.

Теорема 1

Якщо послідовність зростаюча( або неспадна) і обмежена зверху, вона має границю

Доведення

Нехай обмежена зверху числом А, тоді згідно з лемою.

за означенням точної верхньої грані:

Оскільки послідовність - зростаюча, для виконується нерівність

Або Тобто за означенням

Теорема доведена.

Теорема 2

Якщо послідовність спадає( або не зростає) і обмежена знизу вона має границю.

Доведення

Доведення аналогічне попередньому.