
- •1.Основні поняття матем. Логіки. Числові проміжки.
- •2.Множини
- •3.Змінні і сталі величини. Модуль величини.
- •4. Послідовність. Границя послідовності. Границя змінної.
- •5. Єдність границі послідовності. Обмежена і необмежена послідовності.
- •6. Граничниц перехід у нерівностях. Теор. Про границю проміжної послід.
- •7. Нескінченно малі послідовності
- •Необхідність
- •8. Нескінченно великі послідовності
- •9.Арефметичні операції над границями послідовностей
- •10. Монотонні послідовності
- •11.Число е
- •12.Границя за Коші. Геом. Зміст
- •13.Границя функції за Гейне
- •Достатність
- •14.Односторонні границі функції
- •Необхідність
- •15.Арефметичні операції над границями функцій
- •16.Властивість функції, що мають границю
- •17.Граничний перехід у нерівностях для функцій Теорема про границю проміжної функції
- •18.Перша важлива границя
- •19.Друга важлива границя
- •20.Нескінченно великі і нескінченно малі функції
- •21.Основні властивості нескінченно малих функцій
- •Теорема 3
- •23.Еквівалентні нескінченно малі функції
- •24.Теореми про еквівалентні нескінченно малі функції
- •25.Неперервність функції в точці
- •26.Одностороння неперервність функцій в точці. Неперервність функцій на проміжку. Точки розрива функції
- •27.Дії над неперервними функціями. Неперервність складної функції.
- •29.Деякі важливі границі:
- •31.Геометричний зміст похідної, рівняння дотичної.
- •33.Похідні суми, добутку і частки
29.Деякі важливі границі:
1.
Нехай
,тоді
,
якщо
,
то
,
маємо
2.
Нехай
,тоді
,
якщо
,
то
,
маємо
3.
Елементарні ф-ції
Ел-ми ф-ми називають фун-ції які утв-ся з осн-х елементарних ф-цій за допомогою скінченого числа арифм. Ф-цій і суперпозицій. Оск. основні елементарні функції неперервні у всіх точках в яких вони визначені, то теореми про операції над неперервними ф-ціями і неперервності складної ф-ції слідує теорема(Всяка елементарна ф-ція неперервна в кожній точці в якій вона визначена)
4.
При доведенні даної рівності ми застосували правило граничного переходу для неперервної ф-ції.
5.
6.
Оск.
Показникові ф-ція неперервна, то якщо
.
Маємо
7.
8.
Оск.
лог ф-ція неперервна то при
маємо
30.Похідна
ф-ції в точці. Механічний і фізичний
зміст похідної.
Розглянемо задачу про швидкість матер-ї точки.
Нехай
точка рух-ся нерівномірно вздовж даної
прямої і нехай шлях цієї точки є ф-цією
від t.
Нехай
з моменту часу t
пройшов деякий час
,
за який точка з положення
в положення
,
пройшовши шлях
.
За
час
точка пройшла шлях
.
Середньою швидкістю матеріальної точки
за проміжок часу
,
при чому чим менший є проміжок
відносно
моменту часу t
тим точніше середня швидкість відповідає
швидкості руху точки у даний момент
часу.
Істинну
(миттєву) швидкість руху точки знаходять
як границю
,
якщо
,
тобто
Нехай
ця ф-ція
визначена
на деякому проміжку.
Візьмемо
т.
з цього проміжку і надамо її приріст
,
але так щоб
належала ОВ, тоді ф-ція
буде
мати приріст
Озн.
Похідною ф-ції
в т.
називається границя відношення приросту
ф-ції в цій точці до приросту аргументу
,
коли приріст аргументу прямує до 0.
З
означення похідної випливає, що швидкість
у даний момент часу є похідна від
пройденого шляху
по
.
у
цьому полягає механічний зміст похідної.
Узагальнюючи
можна сказати, що коли ф-ція
описує деякі процеси, то похідна
відображає швидкість зміни цього
процесу, у цьому полягає фіз. зміст
похідної.
31.Геометричний зміст похідної, рівняння дотичної.
Розглянемо
просту неперервну криву, зафіксуємо
на ній точку
,
нехай
- довільна точка кривої. Через точки
і
проведемо пряму
(січну).
Озн.
Дотичної до даної кривої у точці
наз-ся граничне положення січної
при умові що точка
необмежено наближається до точки
,
вздовж кривої
Розглянемо
деякі криві, що задані у прямокутних
координатах рівнянням
і в т.
знайдемо кут нахилу дотичної до додатного
напряму осі
.Будемо
вважати, що в т.
крива має дотичну не перпендикулярну
до осі
.
Через
вказану
і довільну проведемо
.
Позначимо
- кут що утв. З додатним напрямком осі
січна
.
Через
-кут
нахилу дотичної до
,до
додатного напряму осі
у т.
.
Зрозуміло що
Очевидно,
що коли
прямує до 0 ,
,
.
Тому
Т.ч.
,
що утворює дотична в т.
з дод. Напрямом осі
дорівнює значенню похідної
-
у цьому полягає геометричний змісь
похідної.
З
геометрії відомо що рівняння прямої що
проходить через т.
і кут коеф. К має вигляд
,
звідси одержимо рівняння дотичної в т.
Озн.
Нормаль до кривої в т.
- пряма яка проходить через т.
перпендикулярно дотичній в цій точці.
З
геометрії відомо, що кутові коефіцієнти
і
двох перпендикулярних прямих відносяться
як
рівняння
нормалі в т.
32.Неперервність і диференційованість
Односторонні
похідні визначаються за допомогою
односторонніх границь. Нехай ф-ція
визначена у деякому околі т.
.
Якщо
у формулі
припустимо що
,
то відповідну границю називають правою
похідною ф-ції
в т.
.
Якщо припустимо що
,
то відповідну границю наз-ть лівою
похідн6ою в т.
Праву
похідну позначають символом
Ліву
похідну позначають символомЯкщо
визначена на відрізку
,
то похідною в т.
розуміють праву похідну, а в т.
- ліву похідну.Коли ф-ція має праву і
ліву похідну в т.
і ці похідні рівні, то в т.
існує похідна
,
якщо
,
то похідна в т.
не існує. Не існує похідної також в т-ках
розриву ф-ції.
Якщо
в т.
границя
,
то похідну в цій точці наз-ть нескінченною.
Озн.
Ф-ція
називається диференційованою в т.
якщо вона має похідну
.
Ф-ція
називається диференційованою на проміжку
якщо вона диференційована у кожній
точці проміжку.
Приклади.
Теорема:
Якщо ф-ція
диференційована в т.
,
то вона неперервна у цій точці.
Доведення:
За умовою теореми
.
За теоремою про необхідну і достаню
умову існування границі ф-ції в точці
,
де
якщо
,
тоді якщо
,
то
.
Тобто нескінченно малому приросту
аргументу відповідає нескінченно малий
приріст ф-ції. Тоді за означенням
неперервності
ф-ція
- неперервна у точці
.
Теорема доведена.
Зауваження:
наведений приклад ф-ції
вказує, що твердження обернене до даної
теореми взагалі кажучи не виконується:
з неперервності ф-ції на проміжку не
випливає диференційованість цієї ф-ції
у кожній точці данного проміжку.