
- •1.Основні поняття матем. Логіки. Числові проміжки.
- •2.Множини
- •3.Змінні і сталі величини. Модуль величини.
- •4. Послідовність. Границя послідовності. Границя змінної.
- •5. Єдність границі послідовності. Обмежена і необмежена послідовності.
- •6. Граничниц перехід у нерівностях. Теор. Про границю проміжної послід.
- •7. Нескінченно малі послідовності
- •Необхідність
- •8. Нескінченно великі послідовності
- •9.Арефметичні операції над границями послідовностей
- •10. Монотонні послідовності
- •11.Число е
- •12.Границя за Коші. Геом. Зміст
- •13.Границя функції за Гейне
- •Достатність
- •14.Односторонні границі функції
- •Необхідність
- •15.Арефметичні операції над границями функцій
- •16.Властивість функції, що мають границю
- •17.Граничний перехід у нерівностях для функцій Теорема про границю проміжної функції
- •18.Перша важлива границя
- •19.Друга важлива границя
- •20.Нескінченно великі і нескінченно малі функції
- •21.Основні властивості нескінченно малих функцій
- •Теорема 3
- •23.Еквівалентні нескінченно малі функції
- •24.Теореми про еквівалентні нескінченно малі функції
- •25.Неперервність функції в точці
- •26.Одностороння неперервність функцій в точці. Неперервність функцій на проміжку. Точки розрива функції
- •27.Дії над неперервними функціями. Неперервність складної функції.
- •29.Деякі важливі границі:
- •31.Геометричний зміст похідної, рівняння дотичної.
- •33.Похідні суми, добутку і частки
23.Еквівалентні нескінченно малі функції
Означення
Нескінченно
малі функції при х→а α1(х)
і α2(х)
називаються еквівалентними,
якщо
.
Їх позначають α1(х) ~ α2(х), при х→а.
Очевидні такі властивості еквівалентних нескінченно малих функцій, при х→а: 1) α1(х) ~ α1(х); 2) якщо α1(х) ~ α2(х), то α2(х) ~ α1(х); 3) якщо α1(х) ~ α2(х), а α2(х) ~ α3(х), то α1(х) ~ α3(х).
Теорема 1
Нехай
нескінченно мала α1(х)
~ α1*(х),
при х→а і α2(х)
~ α2*(х),
при х→а. Якщо існує границя
,
то існує границя
і
ці границі рівні.
Доведення:
розглянемо
Теорема
1 дає можливість при знаходженні границі
відношення двох нескінченно малих
функцій кожну з них (або тільки одну)
заміняти еквівалентною нескінченно
малою функцією.
Важливі еквівалентні нескінченно малі функції (x→0)
1) sinx~x; 2) tgx~x; 3) arcsinx~x; 4) arctgx~x; 5) 1-cosx~x2/2; 6) ex-1~x; 7) ax-1~x·lna; 8) loga(1+x) ~x·logae; 9) ln(1+x) ~x; 10) (1+x)µ-1~µx.
ї
24.Теореми про еквівалентні нескінченно малі функції
Теорема 2
Нехай α1(х) і α2(х) нескінченно малі функції при х→а. Для того, щоб ці функції були еквівалентними необхідно і достатньо, щоб різниця α1(х) - α2(х) була нескінченно малою функцією вищого порядку при х→а, ніж кожна з цих функцій.
Доведення:
Необхідність:
нехай α1(х)
~ α2(х).
Розглянемо
Таким
чином (α1(х)
- α2(х))=о(α1(х)).
Розглянемо також
Достатність:
нехай (α1(х)
- α2(х))=о(α1(х)).
Тоді
α2(х)
~ α1(х).
Нехай (α1(х)
- α2(х))=о(α2(х)).
Тоді
α1(х)
~ α2(х).
Теорема доведена.
Теорема 3
Сума нескінченно малих функцій різних порядків еквівалентна доданку нижчого порядку.
Доведення:
розглянемо дві функції. У загальному
випадку доведення аналогічне. Нехай
α1(х)
і α2(х)
нескінченно малі функції при х→а і
нехай α2(х)
нескінченно мала функція нижчого
порядку, ніж α1(х).
Тобто
.
Розглянемо
.
Тоді α1(х)+α2(х)
~ α2(х)
при х→а.
25.Неперервність функції в точці
Означення 1
Нехай
функція
визначена
в точці х=а і у деякому околі цієї точки.
Функцію
називають неперервною
в точці а,
якщо в цій точці існує границя функції
і
вона дорівнює значенню функції
.
Тобто
[1].
Зауваження:
1)
слід відрізняти означення неперервності
функції в точці і означення границі
функції в точці. При визначенні границі
точка а могла і не належати ОВ функції.
А якщо точка а і належала ОВ ѓ(х), то в
цій точці могли і не співпадати значення
функції ѓ(а) з границею
.
2) оскільки
,
то формулу [1] можна записати у вигляді
[2].
Формула [2] виражає правило
граничного переходу:
при знаходженні границі неперервної
функції ѓ(х) можна перейти до границі
під знаком функції. Геометричний зміст
поняття неперервності відповідає
геометричному змісту границі [1]. Точки
графіка функції
як
завгодно близьких до точки (а, ѓ(а)), якщо
їх абсциса достатньо мало відрізняється
від а. Означення 1 можна формулювати і
на „мові ε-δ”.
Означення 1’
Функція
ѓ(х) називається неперервною
в точці а,
якщо вона визначена в цій точці і деякому
її околі і
Коротко
це можна записати так:
Розглянемо різницю, що входить до
нерівності [3] і [4]. Позначимо через ∆х=х-а
і назвемо величину ∆х приростом
аргументу. Через ∆ѓ= ѓ(х)- ѓ(а)= ѓ(∆х+а)-ѓ(а)
і назвемо величину ∆ѓ приростом функції,
якій відповідає величина приросту
аргументу ∆х. Розглянемо границю [1].
Ми одержали
третє рівносильне означення неперервності
функції в точці.
Означення 1’’
Функція ѓ(х) називається неперервною в точці а, якщо вона визначена в цій точці і у деякому її околі і нескінченно малому приросту аргументу в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції.