
- •1.Основні поняття матем. Логіки. Числові проміжки.
- •2.Множини
- •3.Змінні і сталі величини. Модуль величини.
- •4. Послідовність. Границя послідовності. Границя змінної.
- •5. Єдність границі послідовності. Обмежена і необмежена послідовності.
- •6. Граничниц перехід у нерівностях. Теор. Про границю проміжної послід.
- •7. Нескінченно малі послідовності
- •Необхідність
- •8. Нескінченно великі послідовності
- •9.Арефметичні операції над границями послідовностей
- •10. Монотонні послідовності
- •11.Число е
- •12.Границя за Коші. Геом. Зміст
- •13.Границя функції за Гейне
- •Достатність
- •14.Односторонні границі функції
- •Необхідність
- •15.Арефметичні операції над границями функцій
- •16.Властивість функції, що мають границю
- •17.Граничний перехід у нерівностях для функцій Теорема про границю проміжної функції
- •18.Перша важлива границя
- •19.Друга важлива границя
- •20.Нескінченно великі і нескінченно малі функції
- •21.Основні властивості нескінченно малих функцій
- •Теорема 3
- •23.Еквівалентні нескінченно малі функції
- •24.Теореми про еквівалентні нескінченно малі функції
- •25.Неперервність функції в точці
- •26.Одностороння неперервність функцій в точці. Неперервність функцій на проміжку. Точки розрива функції
- •27.Дії над неперервними функціями. Неперервність складної функції.
- •29.Деякі важливі границі:
- •31.Геометричний зміст похідної, рівняння дотичної.
- •33.Похідні суми, добутку і частки
1.Основні поняття матем. Логіки. Числові проміжки.
Під висловленням розуміють будь-яке твердження, відносно якого можна з’ясувати: істинне воно, чи хибне. Висловлення позначають малими латинськими беквами. Приклад:
р: „Київ – столиця України”
q: „2х2=4”
s: „3>4”
Висловлення р та q істинні, висловлення s – хибне. Предікатом називають твердження, що містить вільні змінні і яке при наданні цим змінним конкретних значень перетворюється на висловлення. Предікати позначають великими латинськими буквами. Приклад: Нехай предікат P(x) є твердження „х2-3х+2=0”. При х, що дорівнює х=1, х=2 це висловлення істинне, а при всіх інших значення х – хибне. У математиці часто зустрічаються вирази „для всіх”, „для кожного”, „існує” і т.д. Для їх позначення існують спеціальні символи, які називають кванторами.
-
квантор загальності (означає „для
будь-якого”, „для всіх”, „для кожного”,
„яке б не було”)
-
квантор існуванні (означає „існує”,
„знайдеться хоча б одне”)
Означення
Теоремою наиваєтья математичне твердження, істинність якого можна з’ясувати доведенням.
Формулювання
будь-якої теореми складаєтья з 2 части:
умови та висновку, що випливає з умови.
Якщо позначити умову через P(x),
а висновок через Q(x),
то теорему можна записати у вигляді
предіката:
х>0:
P(x)
→Q(x)
Якщо данний предікат тотожній, то теорему називають вірною, якщо ні - невірною. Для того, щоб довести, що теорема невірна достатньо вказати хоча б одне значення х для якого не виконується слідування P(x) →Q(x).
У математиці є теореми з 3 різними умовами: необхідною, достатньою, необхідною і достатньою.
Позначення:
Необхідна умова – це умова, без виконання якої данне твердження евірне. Якщо слідування з P(x) →Q(x) є істиним, то Q(x). Називають необхідною умовою для P(x). Приклад:
„Щоб чотирикутник був квадратом, необхідно, щоб його діагоналі були взаємно перпндикулярні”. Дана умова є тільки необхідною, але не достатньою (якщо діагоналі чотирикутника взаємно перпендикулярні, він необов’язково є квадратом).
Достатня умова – це умова, з якої випливає, що данне ьврдження істина, тобто якщо слідування P(x) →Q(x) є істина, то P(x) називається достатньою умовою для Q(x). Приклад:
„Якщо сторони чотирикутника рівні між собою, тоцей чотирикутник – паралелограм.” Ця умова тільки достатня, але не необхідна (якщо чотирикутник – паралелограм, його сторони не обов’язково рівні).
Означення
Якщо
вірні теореми
х>0:
P(x)
→Q(x)
та
х>0:
Q(x)
→P(x),
то умову P(x)
називають необхідною і достатньою для
Q(x)
і
навпаки Q(x)
називають
необхідною
і достатньою умовою для
P(x).
Числові проміжки
Нехай а і b – дійсні числа,причому а<b.
Означення 1
Відрізком
[a,
b]
нази- вають
множину усіх чисел (точок) х,
які задовольняють нерівності a
х
b.
Означення 2
Інтервалом (а, b) називають множину всіх чисел (точок) х, які задовольняють нерівності а < х < b
Означення 3
Підінтервалом
[a,
b)
називають
множину всіх чисел
(точок)
х,
які задовольняють нерівності
a
x
< b.
Означення 4
Підінтервалом
(a,
b]
називають множину чисел, що задовольняють
нерівності a
< x
b.
Означення
Всі наведені в означеннях 1-4 множини називають числовими проміжками і позначаються <a, b>
Означення
-
околом
точки а
(де
>0)
називається інтервал (а
-
,
а
+
)
-
окіл
будемо позначати О
(а)