ЯКАДР
Глава 1. Алгебра логики
1.1. Функции алгебры логики
Определение.
Функция
,
где
=
{0, 1}, называется функцией алгебры логики
или булевой функцией.
Булеву функцию от
n
переменных можно представить в виде
таблицы, в которой всевозможным наборам
значений аргументов сопоставляются
значения функции, такую таблицу называют
таблицей истинности булевой функции.
Легко видеть, что n
переменных принимают
различных значений. Если набор
рассматривать как запись числа в двоичной
системе счисления, то расположение
наборов соответствует естественному
расположению чисел 0, 1, 2, …,
– 1. Таблица истинности функции n
переменных выглядит следующим образом
(табл. 1.1).
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.1 |
|
|
|
|
… |
|
|
f
( |
|
0 |
0 |
0 |
… |
0 |
0 |
f (0,…, 0, 0) |
|
1 |
0 |
0 |
… |
0 |
1 |
f (0,…, 0, 1) |
|
2 |
0 |
0 |
… |
1 |
0 |
f (0,…, 1, 0) |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
1 |
1 |
… |
1 |
0 |
f (1,…, 1, 0) |
|
|
1 |
1 |
… |
1 |
1 |
f (1,…, 1, 1) |
,…,
)
– 2
– 1
Пример. Рассмотрим булеву функцию трех аргументов (табл. 1.2), функция принимает значение 1 только на наборах с одной единицей.
|
|
|
|
Таблица 1.2 |
|
|
|
|
f
( |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
,
,
)
Множество всех
булевых функций f
обозначается
(включая константы 0, 1).
В таблице истинности функции одного и того же числа аргументов отличаются лишь правыми столбцами. При увеличении числа аргументов таблица становится громоздкой.
Число
всех функций из
,
зависящих от n
переменных равно,
.
состоит из бесконечного множества
функций.
КАДР
1.2. Элементарные булевы функции
Ряд функций булевой алгебры называются элементарными.
I. Элементарные булевы функции одной переменной (табл. 1.3).
|
Таблица 1.3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
1 |
x |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Функции
и
не зависят от переменной x.
= 0 – функция константа 0,
= 1 – функция константа 1.
= x
– тождественная функция (читается
“икс”).
=
– функция отрицания (а также инверсия,
НЕ) (читается “не икс”).
II. Элементарные булевы функции двух переменных (табл. 1.4).
|
Таблица 1.4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Всего таких функций 16.
=
(
+
)
– дизъюнкция (логическое сложение)
(читается “
или
”).
=
(
&
,
,
)
– конъюнкция (логическое умножение)
(читается “
и
”).
=
– сумма по модулю два (читается “
плюс
”).
=
(
,
)
– импликация (логическое следование)
(читается “
имплицирует
”).
=
~
(
,
)
– эквивалентность (читается “
эквивалентно
”).
=
(
/
)
– штрих Шеффера (инверсия конъюнкции)
(читается “
штрих
”).
=
– стрелка Пирса (инверсия дизъюнкции)
(читается “
стрелка
”).
КАДР