Точечные оценки параметров распределения.

Пусть неизвестен параметр распределения, любая функция на выборке называется точечной оценкой . Оценки тоже являются случайными величинами.

Требования к оценкам.

1. Несмещенность

2. Состоятельность

3. Эффективность (по сравнению с другими оценками) – если дисперсия оценки меньше дисперсий других оценок.

Можно показать, что несмещенная оценка состоятельна, если ее выборочная дисперсия стремится к нулю при .

Оценки ищут различными методами: методом моментов, методом максимального правдоподобия, методом наименьших квадратов и др.

Оценка среднего значения ГС (математического ожидания) – выборочное среднее. .

Оценка несмещенная, т.к. .

Оценка состоятельная, т.к. по закону больших чисел.

Оценки дисперсии ГС:

1. Выборочная дисперсия

Это – смещенная, состоятельная оценка.

2. Несмещенная, состоятельная оценка дисперсии

Можно показать, что .

Пример. Вычислим оценки для приведенного выше ряда распределения

xk	0	1	3	5
nk	5	2	1	2
	1/2	1/5	1/10	1/5

,

.

Интервальные оценки.

Доверительный интервал – это интервал , такой, что ,

где - доверительная вероятность.

Общее правило построения доверительного интервала для любого параметра основано на центральной предельной теореме, по которой при больших n (n>50) оценка имеет нормальное распределение с , если - несмещенная оценка, а функция распределения случайной величины сходится по вероятности при к функции стандартного нормального распределения.

Квантиль (уровня ) случайной величины X с функцией распределения F(x) – это такое значение случайной величины X, что .

Обозначим квантиль нормального распределения уровня , где , - доверительная вероятность, т.е. , где - функция

стандартного нормального распределения. По симметрии плотности нормального распределения . Так как .

Так как распределение случайной величины стремится к стандартному нормальному распределению, то . Отсюда получаем доверительный интервал

.

Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения. Доверительный интервал для математического ожидания.

Если ГС имеет нормальное распределение, то и любая выборка распределена нормально. Известно, что сумма нормальных случайных величин тоже распределена нормально. Поэтому оценка математического ожидания – выборочное среднее – нормально распределенная случайная величина с - известно.

3. Поэтому, если известно, то , и доверительный интервал для математического ожидания строится так:

с доверительной вероятностью . Квантили проще всего искать по таблицам квантилей нормального распределения.

4. Если неизвестно, то нормированная случайная величина (вместо подставлена его оценка s) уже не распределена нормально. Она имеет распределение Стъюдента с n-1 степенями свободы. Есть таблицы квантилей распределения Стъюдента. По доверительной вероятности определяют , по таблице квантилей определяют квантиль уровня . Затем по той же схеме строят доверительный интервал для математического ожидания .

Если n> 20, то квантиль можно искать по таблицам квантилей нормального распределения.