Общая статистическая модель

Определение.

Назовем общей статистической моделью следующий математический объект

где - измеримое пространство, - некоторое семейство вероятностных мер на .

В случае, когда семейство состоит из одной вероятностной меры , статистическая модель превращается в вероятностное пространство

Одной из основных задач математической статистики является задача разумного выбора меры из семейства на основании наблюдения значения , произошедшего в опыте, произведенном в соответствии с моделью . При этом результат опыта (наблюдение) известен, относительно вероятностной меры известно лишь, что

В данной модели представляет собой статистические данные, семейство - априорные сведения.

Пример.

Рассмотрим опыт, состоящий в бросании несимметричной монеты 1 раз.

Тогда , (единица интерпретируется как выпадение монеты гербом вверх)

Обозначим - вероятность выпадения монеты гербом вверх, -вероятность на , соответствующую вероятности выпадения гербом вверх .

Предположим, что семейство состоит из двух вероятностных мер и , тогда следующий способ выбора вероятностной меры в зависимости от значения будет разумным:

Если , то выбираем

Если , то выбираем

Разумность данного способа выбора состоит в том, что при его применении мы никогда не ошибемся.

Предположим теперь, что семейство состоит из двух вероятностных мер и , тогда следующий способ выбора вероятностной меры в зависимости от значения также будет разумным:

Если , то выбираем

Если , то выбираем

Разумность данного способа выбора состоит в том, что правильное решение принимается с вероятностью 0,9 (вероятность ошибки 0,1) независимо от того, какая в вероятностная мера реализуется в эксперименте. Три оставшихся способа выбора

2)Если , то выбираем

Если , то выбираем

3) Всегда выбираем

4) Всегда выбираем

имеют максимальную вероятность ошибки больше, либо равную 0,9

Если семейство состоит из двух вероятностных мер и , тогда разумность способа выбора:

если , то выбираем

если , то выбираем

представляется сомнительной, потому что вероятность ошибки не меньше 0,89. Более того, три оставшихся способа выбора имеют еще большие максимальные вероятности ошибок. В этом случае содержательные выводы о по наблюдению сделать невозможно, т.е. представленных статистических данных для решения задачи недостаточно.

Данный пример показывает, что, даже в простейшем случае, абсолютно достоверные выводы на основании статистических данных сделать, вообще говоря, невозможно.

Математическая статистика предлагает критерии качества выводов, позволяющие выбрать разумный или даже оптимальный, в некотором строго определенном смысле, способ обработки и интерпретации данных, установить точность и достоверность выводов, определить объемы статистических данных, необходимые для решения задачи с заданной точностью и достоверностью

Параметрические и непараметрические задачи

В зависимости от того, каким образом задано семейство , принято различать параметрические и, как дополнение к ним, непараметрические модели статистики.

Для того чтобы корректно определить параметрическую модель, введем следующее расстояние между вероятностными мерами.

Определение.

Величина называется расстоянием по вариации между вероятностными мерами .

Определение. Семейство вероятностных мер называется (k -) параметрическим, если существует взаимно однозначное соответствие между некоторым подмножеством и семейством

Покажите, что для параметрического семейства верно и обратное: из сходимости следует сходимость.

такое, что из сходимости следует сходимость .

Статистическая модель называется параметрической, если семейство параметрическое. В этом случае величину называют параметром, а - параметрическим множеством.

Если все меры семейства имеют плотность

относительно некоторой меры , то из теоремы Шеффе следует, что достаточным условием параметричности семейства является взаимно однозначность соответствия и непрерывность функции по для любого .

Это условие не является ограничительным и обычно выполняется во всех практически важных задачах

В продолжение всего курса, будем предполагать, что все меры семейства имеют плотность относительно некоторой меры , которую будем в общем случае обозначать , а в параметрическом

В частности, семейства распределений

и т.п. являются параметрическими.

В дальнейшем математическое ожидание по мере будем обозначать или, для параметрических семейств .