22. Первый замечательный предел

обозначим f(x)=sinx /x, (x)=1/cosx.

Функция f(x) определена для всех значений х№0. пусть 0<x</2,тогда треугольник ОМВ содержится в секторе ОАМ,который в свою очередь содержиться в треугольнике ОАС и удвоенные площади перечисленных фигур соответственно равны (sinx*cosx),x и tgx, отсюда получаем неравенства sinx*cosx<x<tgx.при указанных значениях

При указанных значениях х sin x >0. Справедливо неравенство cos x <x/sin x <1/cos x.

=1, то и =1. При 0<x<π/2. Так как функция (sinx)/x является четной, то преднл будет таким же, если функция определена на интервале (-π/2, 0).

Замечание. Из этих геометрических построений в случае 0<x<π/2 следует, что 0<sinx<х и

1-sinx<cosx<1, поэтому =0, =1. 13. Подпоследовательности. Свойства. Верхний и нижний предел. Примеры.

Пусть {Xn} произвольная числовая последовательность. Рассмотрим возрастающую бесконечную последовательность целых положительных чисел n1, n2,...nk... Таких последовательностей бесконечно много. Выберем из последовательности {Xn} новую последовательность {Xnk}={Xn1,Xn2...Xnk...}. Последовательность {Xnk} при k=1 называется подпоследовательностью последовательности {Xn}. Очевидны два свойства. Свойство 1. Если последовательность {Xn} сходится и имеет своим пределом число а, то и любая ее подпоследовательность сходится и имеет своим пределом число а, т.е ее пределом lim(k ) Xnk=a. Доказательство. Для любого >0 существует N такое, что при n>N выполняется неравенство |Xn-A|<. Но при nkN тоже выполняется неравенство |Xn-a|< при k>kN.

Свойство 2. Если все подпоследовательности данной последовательности {Xn} сходятся (все равно к какому числу), то пределы всех этих подпоследовательностей равны одному и тому же числу. Доказательство. Действительно, так как {Xn} есть частный случай последовательности {Xn} , то {Xn} имеет своим пределом Q. Можно дать другое эквивалентное определение предельной точки последовательности. Точка X называется предельной точкой последовательности {Xn} , если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к Х.

Первое определение верхнего предела. Наибольшая предельная точка X ограниченной последовательности {Xn} называется верхним пределом этой последовательности и обозначается символом Х=lim(k ) Xn. Аналогично определяется предел для нижней последовательности. Существования верхнего предела и нижнего предела ограниченной последовательности доказано теоремой Вейерштрасса. Второе определение верхнего (нижнего) предела. Число Х называется верхним (нижним) пределом последовательности {Xn}, если существует подпоследовательность {Xnk}, сходящаяся к нему и при этом всякая другая сходящаяся подпоследовательность последовательности {Xn} сходится к числу не большему (не меньшему) чем Х. Из этого определения следует что {Xn} может иметь только один верхнй предел а1. Если допустить, что a2>a1, то подпоследовательность {Xnk} будет сходиться к а2, тогда утверждение что а1 есть верхний предел противоречит определению. Пример. Последовательность { n / (n+1)* (1+(-1)^n} ={0,(2*2)/3,0,(2*4)/5,0,(2*6)/7....} имеет две предельные точки: 0 и 2, так как из нее можно выделить подпоследовательность элементов имеющих нечетные номера (0,0,0...) и подпоследовтельность с четными номерами (2*2/3,2*4/5,2*6/7..) имеет одну предельную точку 2.