19. Критерий Коши существования предела функции.

Необходимое и достаточное условие существования предельного значения функции (критерий Коши). Пользуясь эквивалентностью старого и нового определений предель­ного значения функции, установим необходимое и достаточное условие существования у функции f(x) предельного значения в точке а.

Определение. Будем говорить, что функция f(x) удовле­творяет в точке х =а условию Коши, если для любого положительного числа ε найдется положительное число δ такое, что, каковы бы ни были два значения аргумента х' и х", удовлетворяющие неравенствам 0<|х' — а|<δ, 0<|х" — а|<δ, для соответствующих значений функции справедливо неравенство |f(x')−f(x'')| <ε

15. Критерий Коши сходимости последовательности

Определение: Последовательность {X} называется фундаментальной, если для любого E>0 найдется номер NE та­кой, что для всех номеров n>=NE и для всех натуральных p=1,2… выполняется неравенство |Xn+p-Xn|<E При нахождении предела (d, последовательности {Xn} нам приходится вначале предположить (угадать) предел а , а потом оценивать разность Xn- a и этим убеждаться в справедливости предположений. Можно указать "внутренний" критерий сходимости, поз­воляющий судить о сходимости лишь по величине элементов последова­тельности. Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фун­даментальной. Доказательство : Необходимость. Пусть {Xn} имеет предел a . Здесь требуется доказать, что {Xn} является фундаментальной. Для любого E>0 найдётся номер №E такой, что |Xn- a|<E/2 и |Xn+p- a|<E/2 при n>=NE . Отсюда при n>=NE выполняется неравенство Xn+p-Xn|=|(Xn+p- a)-(Xn- a)|<=|Xn+p- a|+|Xn- a|<E\2+E\2=E и этим доказано, что последовательность фундаментальна. Достаточность. Пусть {Xn} фундаментальна. Здесь требуется доказать, что {Xn} имеет предел. Для удобства положим m=n+p. Сначала докажем, что последовательность {Xn} ограниченна. Назначим E=1 тогда найдется N1 такое что при всех n>=N1 и m>=N1 выполняется неравенство |Xn-Xm|<`1 и , в частности |Xn-XN1|<1 или XN1- 1<XN1+ 1. Это значит, что последовательность {Xn} ограниченна. Из ограниченной последовательности по теореме Больцано-Вейер-штрасса можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть Xnk , при k->…. . Покажем, что Хn->a при n->…. Для произвольно малого E>0 существует такой номер КE , что при K>KE и nk>nkE. выполняется неравенство |Xnk- a|<E/2 .C другой стороны существует номер NE такой, что при n,m>NE выполняется неравенство |Xn-Xm|<E/2. Пусть N=max{NE,nkE}, тогда при n>N, nk>N |Xn- a|=|(Xn-Xnk)+(Xnk- a)|<=|Xn-Xnk|+|Xnk- a|<E/2+E/2=E Критерий Коши установлен.Пример. Является ли сходящейся последовательность {Xn} где Xn=1+1/2+1/3+….+1/n?

Решение. Если для любого E>0 найдется такое NE , что при n>N и любом p=1,2… будет выполняться неравенствo |Xn-Xn+p|<E

то Хn имеет предел. Если же для какого-либо E0>О не существует такого N, что при n>N и при Р=1,2… выполнялось бы неравенств |Xn-Xn+p|<E то в этом случае Xn предела не имеет (последовательность {Xn} не является фундаментальной). Имеем соотношения

|Xn-Xn+p|=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+p)>1/(n+p)+…+1(n+p)=p/(n+p)

Если взять E0= 1/4 то, положив р=n (мы вправе взять любое p) будем иметь p/(n+p)=n/(n+n)=1/2>1/4 , т.е. /Xn-Xn+p/>1/4

Условие Коши не выполняется, конечного предела нет.

27.непрерывность функции в точке.

Определение- ф-я F называется непрерывной в точке А, если она определена в некоторой окрестности точки А, в том числе и в самой точке А, и если lim х>А F (х)=F(А)

Это определение в более развернутом виде формулируется так-

Функция F называется непрерывной в точке А, если она определена на интервале (с,d), содержащему точку А, и если для любого ε >0 существует δε>0, такое что из условия ıх-Аı< δε следует неравенство ıF(x) – F(A)ı<ε.Приведем еще формулировку, эквивалентную приведенным на языке последовательностей-

Функция непрерывна в точке А, если она определена на некотором интервале (с,d) , содержащем А, и если для любой последовательности {Xn}, сходящейся к А, Xn >A при n >∞, имеет место АF(х) >F(А), при n >∞. Если функция F, заданная в окрестности точки А, не является не прерывной в точек А, то она разрывна в точке А.

Прямое определение разрывности F в точке А. Пусть Функция F определена в окрестнрсти точки А и пусть существует ε >0 такое что для любого δ>0 найдется точка Х δ, такая что Х δ-А⃓< δ, но ⃓ F (Хδ)-F(A)⃓≥ ε, тогда F разрывна в точке А.

Для непрерывности функции в точке А требуется во первых , существование предела lim х>АF(х), во- вторых, совпадение этого предела с тем значением, которое функция принимает при х=А.

Пример- функция F(х)=⃓х⃓, х(-∞,∞) является непрерывной точке х=0, так как F(0)=0, причем lim х>-0(-х)=0, lim х> 0+0(х)=0

Сущность понятия непрерывности состоит в том, что данная бесконечно малое приращение Δх независимой переменной, мы можем сделать приращение Δy функции y= F(х) бесконечно малым

Δ y= F(А+ Δ х)- F(А) при Δх>0

F(А+ Δ х) > F(А) при Δх>0

Функция F в точке А непрерывна с права, если F(А+ 0)= F(А) и непрерывна слева, если F(А-0)= F(А). для того чтобы функция была непрерывной в точке А, необходимо и достаточно , чтобы в этой точке она была непрерывна как справа так и слева.

По Гейну Если для любой последовательности Xn>A, последовательное значение функции сходится одному и тому же числу F(A), то такая функция называется непрерывной.

По коши Функция называется непрерывной в точке А, если для любого ε >0 существует δ(ε) такой что для любых Х⃓Х-А⃓< δ и ⃓ F(x) – F(A)⃓< ε.