3. Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Определение. Случайная величина имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения, если её плотность распределений вероятностей имеет вид:

,

где параметр распределения ().

Он возникает в теории массового обслуживания, теории надёжности. Например, интервал времени между двумя соседними событиями (заявками) в потоке поступающих заявок на обслуживание (ремонт телевизоров, автомобилей, …) имеет показательный закон распределения (с интенсивностью ).

Примерный график плотности распределения вероятностей приводится на рис. 7.4:

Рис. 7.4. Функция плотности распределения показательной величины.

Определим вид функции распределения для показательного закона:

.

Примерный график функции распределения приводится ниже на рис.7.5:

Рис. 7.5. Функция распределения показательной величины.

4. Логарифмически-нормальное распределение

Определение. Случайная величина имеет логарифмически-нормальное (логнормальное) распределение, если её натуральный логарифм подчинён нормальному закону

.

Отсюда, функция плотность распределения вероятностей логнормального распределения имеет вид (по правилу дифференцирования интеграла, зависящего от параметра)

.

Примерный вид графика функции указан ниже:

Рис. 7.6. Функция плотности распределения логонормальной величины.

Логнормальное распределение встречается при описании распределения доходов, банковских вкладов, долговечности изделий в режиме износа – старения, месячной зарплаты, посевных площадей под различные культуры и т.п.

5. Вейбуловское распределение

В инженерной практике часто используется распределение Вейбула: ,

с параметрами и .

Частными случаями распределения Вейбула являются следующие:

- показательное распределение , ,

- релеевское распределение , .

Лекция № 8

Числовые характеристики случайных величин

1. Математическое ожидание. Дискретные случайные величины

Пусть задана случайная величина своим рядом распределений

Значения случайной величины ()
Вероятности значений ()

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:

.

Замечания. Все три приведённые обозначения математического ожидания равноправны.

Верхний индекс у знака суммы ( или ) соответствует тому, что принимает конечное число значений () или бесконечное число значений.

Сумма всех участвующих (в определении) вероятностей равна единице (попробуйте ответь на вопрос «почему?»)

.

______________

Пример. Два стрелка стреляют по мишени. Число очков, которые выбивает каждый стрелок, заданы следующими законами распределений:

Какой из стрелков опытнее, кого нужно взять на соревнование (между вузами), кому нужно отдать предпочтение?

Решение. Задача па первый взгляд непростая. Но если воспользоваться понятием математического ожидания (найти среднее число очков, выбиваемых каждым стрелком при одном выстреле), задача переходит в разряд решаемых.

Действительно, для первого стрелка математическое ожидание равно

,

(т.е. он выбивает в среднем очка за один выстрел), а для второго стрелка

.

То есть пока опытнее (точнее) первый стрелок. Но если второй «уберёт» шлейф плохих выстрелов, то он станет вне конкуренции!

Свойства математического ожидания

Свойство . Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной

.

­ Доказательство. Действительно, пусть случайная величина равна с вероятность . Тогда по определению математического ожидания:

.

Что и требовалось доказать.

Свойство . Постоянный множитель можно вносить за знак математического ожидания

, где .

Доказательство. Докажем для случайной величины , которая принимает конечное число значений . По определению математического ожидания:

.

Отсюда, вынося константу за знак суммы, получим:

.

Что и требовалось доказать.

Свойство . Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

.

Доказательство. Докажем для математического ожидания величины, составленной из суммы двух случайных величин и , причем случайная величина , принимает конечное число значений , а случайная величина , принимает конечное число значений . Тогда математическое ожидание суммы двух величин и равно:

.

Попробуем разобраться с первой двойной суммой

.

В ней от значения не зависит внутренняя сумма, поэтому вынесем за знак этой суммы:

.

Событие, состоящее в том, что примет значение (вероятность этого события равна ), влечёт за собой событие, которое состоит в том, что примет значения

или или ,

а вероятности этих несовместных событий равны соответственно:

или или .

Тогда вероятность первоначального события равна (по теореме о сложении вероятностей несовместных событий):

.

Поэтому первая двойная сумма равна:

.

Последнее же равенство следует из определения математического ожидания.

Со второй двойной суммой поступим аналогично, но прежде заметим, что она не изменится, если поменять порядок суммирования:

(Это известное свойство можно проверить, расписав его для случаев или ). А далее (вдоль по проторенной тропе):

.

Поэтому окончательно получаем:

.

Что и требовалось доказать.

Свойство . Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Без доказательства (для заинтересовавшихся студентов это доказательство – повод повысить итоговую оценку).

Пример. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна . Найти число независимых выстрелов, обеспечивающее математическое ожидание равное попаданиям в мишень (например, при стрельбе по кораблю).

Решение. Пусть случайные величины - есть число попаданий в мишень при каждом из выстрелов. Тогда, согласно условию задачи, все эти случайные величины имеют один и тот же закон распределения

Математическое ожидание этих случайных величин равно

.

Математическое ожидание числа попаданий в мишень при выстрелах равно . По свойству (математического ожидания)

,

где последнее равенство записано в силу условия задачи. Отсюда

.