
- •1. Закон распределения дискретной случайной величины
- •2. Пример распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение
- •3. Пример распределения дискретной случайной величины. Распределение Пуассона
- •4. Пример распределения дискретной случайной величины. Геометрическое распределение
- •Лекция № 6
- •1. Функция распределения непрерывной и дискретной случайной величины
- •1. Свойства функции распределения
- •3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •1. Равномерное распределение
- •2. Нормальное распределение
- •3. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •4. Логарифмически-нормальное распределение
- •5. Вейбуловское распределение
- •1. Математическое ожидание. Дискретные случайные величины
- •2. Математическое ожидание. Непрерывные случайные величины
- •3. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины
- •4. Моменты распределения случайной величины
- •1. Теорема Чебышева
- •2. Центральная предельная теорема
- •3. Теорема Бернулли
Лекция № 6
Непрерывные случайные величины
1. Функция распределения непрерывной и дискретной случайной величины
Начнём с определения.
Определение. Непрерывной случайной величиной называется переменная, которая может принимать случайным образом любые значения в некотором интервале числовой оси.
Обозначение.
Обозначать непрерывные случайные
величины будем латинскими буквами
,
,
,...
_______________
Пример.
Пусть между двумя населёнными пунктами
и
протянута телефонная линия, расстояние
между ними равно
.
Тогда точку возможного
обрыва линии будем характеризовать
случайной величиной
,
которая принимает значения на интервале
от нуля до
.
Тогда точка обрыва,
точка
(то есть случайная величина
примет значение
),
не может являться вероятностной
характеристикой произошедшего обрыва:
вероятность
.
На самом деле, по геометрической
вероятности:
,
где
- длина точки
,
- расстояние
между пунктами
и
.
Но
!
Как охарактеризовать с вероятностной
точки зрения линию обрыва?
Непрерывную
случайную величину
характеризуют с помощью функции
распределения.
Функцией
распределения
случайной величины
называется функция
,
выражающая для каждого числа
вероятность того, что случайная величина
примет какое-либо значение, меньшее
числа
:
.
Функция распределения
определена для всех
:
,
а значения
принимает на отрезке
,
т.к. вероятность любого события находится
именно в этих пределах.
Функцией распределения можно характеризовать (в равной степени) и дискретные случайные величины.
_______________
Пример.
Пусть
- число попаданий в цель при четырех
выстрелах, если вероятность попадания
при одном выстреле равна
(пример из предыдущей лекции). Найти и
изобразить функцию распределения этой
случайной величины
.
Решение.
В предыдущей лекции мы нашли, что закон
распределения
имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём функцию
распределения
.
При значении
функция
,
т.к. событие
можно составить из пяти несовместных
событий:
,
,
,
,
,
вероятности которых
в сумме дают
.
И это справедливо для всех
,
таких, что
.
Поэтому
при значении
.
Но как только
принимает значение
,
сразу из перечисленного выше множества
событий исключается событие
(т.к.
). Поэтому:
.
И так будет для
всех
,
таких что
.
Поэтому
для всех
,
таких что
.
И так далее.… До
значения
,
которому не соответствует ни одно из
событий
(т.е. переменная
принимает значения от
до
с шагом равным
).
Поэтому для всех значений
,
таких, что
,
значение функции распределения равно
.
Итак, для рассматриваемой здесь случайной величины функция распределения имеет вид:
Графиком функции
распределения
является «набор из горизонтальной линии
и горизонтальных стрелок» рис. 6.1, которые
говорят о том, что предел справа у функции
не достигается в пяти случаях:
Рис. 6.1. Функция распределения дискретной случайной величины.