2. Пример распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение

Пусть мы по-прежнему находимся в рамках действия схемы независимых испытаний: проводится независимых испытаний, вероятность появления события во всех испытаниях одинакова и равна .

Можно рассмотреть случайную величину , число появлений события в этих испытаниях. Понятно, что мы находимся в области действия схемы Бернулли, и значение соответствует вероятности

, где .

Поэтому появляется закон распределения, который получил название - биномиальное распределение рис5.2:

Рис. 5.2. Многоугольник биноминального распределения.

Название закона происходит от разложения суммы двух чисел в степени, предложенного великим Ньютоном (бином Ньютона):

.

Кстати, последняя запись (формула) означает, что просуммированы все используемые в биномиальном распределении вероятности, а т.к. , то сумма всех вероятностей равна :

,

т.е. у нас действительно выполняется необходимое условие существования закона распределения!

3. Пример распределения дискретной случайной величины. Распределение Пуассона

Пусть мы по-прежнему находимся в рамках действия схемы независимых испытаний: проводится независимых испытаний, вероятность появления события во всех испытаниях одинакова и равна . Пусть к тому же - велико, а - мало. Тогда, применяя теорему Муавра-Лапласа для нахождения , будет получать значительные ошибки ().

Выход для частного, но практически важного, случая стремления видится в следующем: предположим, что (т.е. в каждой серии из независимых испытаний зависит от , но произведение ). Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема Пуассона. При стремлении так, что , имеет место следующее:

.

Поэтому появляется смысл во введении следующего распределения, которое получило название (по названию теоремы) – распределения Пуассона:

Проверим, выполняется ли необходимое условие существования закона распределения:

.

Но по свойству степенных рядов:

,

отсюда

.

Итак, если но ( при ), то биномиальное распределение превращается в распределение Пуассона.

4. Пример распределения дискретной случайной величины. Геометрическое распределение

Пусть мы по-прежнему находимся в рамках действия схемы независимых испытаний: проводится независимых испытаний, вероятность появления события во всех испытаниях одинакова и равна . Но теперь испытания заканчиваются, если наступает событие .

Поэтому случайная величина - число испытаний, проведенных до первого появления события . Найдём соответствующую вероятность:

.

По определению независимости испытаний:

.

Отсюда:

.

Поэтому получается следующий закон распределения:

Он носит название геометрический закон распределения (т.к. вероятности суть члены геометрической прогрессии со знаменателем ).

Можно доказать, что при имеет место равенство:

,

и тем самым проверить необходимое условие существования закона распределения.

Действительно:

.

Чтобы найти сумму бесконечного ряда, найдём его частичную сумму:

,

что, в свою очередь, легко проверить непосредственно перемножая:

.

Откуда

,

т.к. .

Поэтому

,

что и требовалось доказать.