6. Алгебраические свойства операций над множествами

Свойства операций над множествами во многом аналогичны знакомым вам из школьного курса свойствам алгебраических операций над числами. В таблице 3, где возможно, проведены эти аналогии. Свойства записываются в виде тождеств, т.е. не зависят от того, какие конкретные подмножества универсального множества U в них фигурируют. При выполнении операций с множествами соблюдается следующий порядок: самой первой выполняют операцию дополнения, затем операцию пересечения, затем — объединения, причем сначала выполняются операции, стоящие в скобках.

Таблица 3

Название формулы алгебры множеств	Формула алгебры множеств	Формула алгебры чисел	Название формулы алгебры чисел
Коммутативность объединения	АÈВ=ВÈА	а+в= в+а	Коммутативность сложения
Коммутативность пересечения	АÇВ=ВÇА	ав=в´а	Коммутативность умножения
Ассоциативность объединения	(АÈВ)ÈС=АÈ(ВÈС)	(а+в)+с= а+(в+с)	Ассоциативность сложения
Ассоциативность пересечения	(АÇВ)ÇС=АÇ(ВÇС)	(а´ в)´с= а´(в´с)	Ассоциативность умножения
Дистрибутивность ÇотносительноÈ	АÇ(ВÈС)=(АÇВ)È(АÇС)	а´(в+с)= а´в+а´с	Дистрибутивность относительно
Дистрибутивность ÈотносительноÇ	АÈ(ВÇС)=(АÈВ)Ç(АÈС)
Свойства пустого множества	АÈÆ=А АÇÆ=Æ	а+0=а а´0=0	Свойства нуля
Свойства U	АÈU=U; АÇU=А
Свойства дополнения множества	АÈĀ=U АÇĀ=Æ

2. Задания для самостоятельной работы

1. Определите, к какому из следующих списков относится понятие «множество». Ответ обоснуйте.

а) точка, линия, плоскость;

б) отрезок, луч, угол. (для наглядного представления результата можно использовать таблицу)

2. Для каждого из следующих математических символов напишите соответствующий ему термин или словосочетание теории множеств:

а) Æ ________;

б) U ________.

3. Вставьте пропущенный термин (символ) так, чтобы получилось верное утверждение:

а) множество называется …, если содержит конечное число элементов;

б) запись А...В, означает, что множество А является подмножеством множества В;

в) символ Æ обозначает … множество;

4. Соотнесите графическое изображение и

одну из следующих символьных записей:

а) DÌ СÌ В

б) ВÌ СÌ D

в) CÌ BÌ D

5. Соотнесите текстовую и символьную записи числовых множеств (N, Z, Q, R), заполнив соответствующие клетки следующей таблицы. Приведите примеры чисел, принадлежащих каждому из множеств.

Множество	Обозначение	Примеры
натуральных чисел
целых чисел
рациональных чисел
действительных чисел

6. Запишите два числа, расположенных между числами 0,123 и 0,124. Определите, к какому множеству принадлежат эти числа. Ответ запишите в символьной форме.

7. Для промежутка на числовой прямой (–4; 3] перечислите списком:

а) все натуральные числа, которые принадлежат данному промежутку;

б) все целые числа, которые принадлежат данному промежутку.

8. Запись: «Множество А — это множество всех чисел от 3 до 6, включая 3 и 6» изобразите на числовой прямой и запишите промежутком.

9. Изобразите на числовой прямой следующие промежутки [–5; 2]; (0; 4); [7; 12).

10. В следующих множествах все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Найдите элементы, не обладающие этим свойством:

а) сосна, ель, береза, шиповник.

б) 4; 8; 12; 16; 19; 20.

11. Для каждого из слов: сосна, насос, колос, осколок — составьте множества его различных букв, обозначив их соответственно буквами А, В, С, D. Определите, какие из полученных множеств являются равными.

12. Составьте 4 слова из букв, которые входят в состав слова ЛЕКАРСТВО (слова должны иметь не менее 2-х слогов). Для каждого из слов, в том числе и для слова ЛЕКАРСТВО, выпишите множество его различных букв, обозначив их соответственно А, В, С, D, Е. Определите, есть ли среди полученных множеств равные.

13. Запишите название операции над множеством, в котором содержится пять букв е.

14. Соотнесите символьную запись операции над множествами с ее графическим изображением (результат операции заштрихован). Поставьте знак «+» в нужной клетке таблицы.

В\A
А\В
АÈВ

15. Закончите предложение так, чтобы оно было верным, выбрав для ответа один из предложенных вариантов. Если dÎ A∩C, то

а) dÎ A и dÏ С; б) dÏ А и dÎ С; в) dÎ А и dÎ С.

16. Пусть множество А={береза, ель, кедр, осина, пихта, сосна, черемуха}. Составьте множество В — все лиственные, так что ВÌА. Перечислите списком результат операции А\В.

17. Для каждого из слов: лосось, солод, соль, холод — составьте соответственно множества А, В, С, D, состоящие из всех различных букв слова. Перечислите списком результат операции А∩В∩С∩D. (для наглядного представления результата можно использовать таблицу)

18. Даны множества А={1, 2, 5, 7, 9} и В={7, 9, 11, 13}. Задайте списком множества АÈВ; А∩В; А\В; В\A. (для наглядного представления результата можно использовать таблицу)

19. Даны множества D=[–4; 2] и F=[0; 5]. Найдите DÈF; D∩F; D\F; F\D. Результаты операций изобразите в таблице.

20. Даны пары множеств, заданные промежутками на числовой прямой. Соотнесите их с графическими изображениями, поставив знак «+» в соответствующей клетке таблицы.

А=(4; 7) и В=(5; 6)
А=(1; 3] и В=[–2; 0]
А=[0; 7] и В=(–4; 9)

8