2. Числовые множества

Таблица 2

Числовые множества

Числовое множество и его обозначение	Определение	Примеры	Операции, всегда выполнимые в данном множестве
Натуральные числа, N	Числа, употребляемые при счете предметов	1; 2; 3; …	Сложение, умножение, возведение в натуральную степень
Целые неотрицательные числа, N0	Объединение натуральных чисел и нуля	0; 1; 2; 3; …	Сложение, умножение, возведение в неотрицательную степень, вычитание равных чисел
Целые числа, Z	Объединение натуральных чисел, противоположных к ним и нуля	… –1; –2; 0; 1; 2; …	Сложение, умножение, вычитание, возведение в неотрицательную степень
Рациональные числа, Q	Числа вида , где а — целое, b — натуральное	0; 1; 0,3; ½ , –¼, ⅚	Сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень, извлечение корня из любого положительного числа
Действительные числа, R	Объединение рациональных и иррациональных чисел	3; 4; –0,672; 5,321; ; 0,(3)	Сложение, умножение, вычитание, деление, возведение положительного числа в действительную степень, извлечение корня из любого положительного числа, извлечение корня нечетной степени из отрицательного числа

3. Способы задания множеств

1 способ. Перечислить все элементы множества, если множество конечное и возможно перечислить все его элементы. Пример: множество студентов в данной группе — это конечное множество и можно перечислить, скажем, по фамилиям всех студентов, а вот множество всех студентов в мире тоже конечное, но вот перечислить все элементы такого множества затруднительно.

2 способ. Описать характеристическое свойство элементов множества, то есть свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие элементы, ему не принадлежащие.

4. Равенство множеств

Множества А и В называют равными (А=В), если А Ì В и В Ì А, то есть каждый элемент множества А принадлежит множеству В и каждый элемент множества В принадлежит множеству А.

Примеры:

1. Два множества А={1, 2, 3, 4, 5, 6} и В={ 6, 5, 4, 3, 2, 1} равны.

2. Пусть множество А — состоит из различных букв слова топор, а множество В — из различных букв слова ропот, то есть А={т, о, п, р} В={р, о, п, т}. Каждый элемент множества А принадлежит множеству В и каждый элемент множества В принадлежит множеству А, поэтому А=В.

5. 3.5. Операции над множествами

Объединение (сумма) множеств А и В (обозначение АÈВ) есть множество всех элементов, принадлежащих множеству А или множеству В. При этом повторяющиеся элементы включаются в объединение только один раз. Объединение большего числа множеств определяется аналогично.

Различные случаи объединения множеств рассмотрены на рисунке 3, результаты операции объединения закрашены.

АÈВ	если ВÌА, то АÈВ=А	АÈВ
Рис. 3. Объединение множеств

Примеры:

1. Пусть А — множество юношей в студенческой группе, В — множество девушек в этой же группе, тогда АÈ В=С — это множество всех студентов группы (рис. 3а).

2. Пусть А={3, 4, 5, 6} и В={ 3, 4}, тогда АÈВ={ 3, 4, 5, 6} (рис. 3б).

3. Пусть множества А и В заданы промежутками на числовой прямой А=[–1; 5] и В = [0; 1], тогда АÈ В = [–1; 5] (рис. 3в).

Пересечение (произведение) множеств А и В (обозначается АÇВ) есть множество, состоящее из элементов, общих для обоих множеств. Пересечение большего числа множеств определяется аналогично. На рисунке 4 изображены различные случаи пересечения множеств А и В (результат операции пересечения закрашен).

АÇВ=Æ	если ВÌА, то АÇВ=В	АÇВ
Рис. 4. Пересечение множеств

Примеры:

1. Пусть А множество целых отрицательных чисел, а В — множество натуральных чисел, тогда АÇ В=Æ (рис. 4а).

2. Пусть А — множество всех целых чисел, В — множество целых отрицательных чисел, тогда АÇ В=В (рис. 4б).

3. Пусть А={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, В={6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}, тогда АÇВ={6, 7, 8, 9} (рис. 4в).

4. Пусть множества А и В заданы промежутками на числовой прямой А=(–5; 2] и В = [0; 2], тогда АÇВ = [0; 2] (рис. 4б).

5. Пусть множества А и В заданы промежутками на числовой прямой А=(–5; 2] и В = [3; 7], тогда АÇВ =Æ (рис. 4а).

Разность множеств А и В (обозначается А\В) есть множество, состоящее из всех элементов множества А, не входящих в множество В. На рисунке 5 изображены различные случаи вычитания множеств (результат операции вычитания закрашен).

А\В=А	А\В	А\В
В\А=В	Если ВÌА, то В\А=Æ	В\А
Рис. 5. Вычитание множеств

Примеры:

1. Пусть А — множество всех целых чисел, а В — множество всех целых положительных чисел, тогда А\В — это множество всех целых отрицательных чисел (рис. 5в).

2. Пусть А={1, 2, 3, 4, 5}, В={1, 2, 3}; А\ В={4, 5} (рис. 5в).

3. По данным промежуткам А=(–3; 2] и В = [–2; 1] на числовой прямой определим АÈВ = (–3; 2] (рис. 3б); АÇВ = [–2; 1] (рис. 4б); А\В=(–3; –2)È(1; 2] (рис. 5б); В\А=Æ (рис. 5д).