3. Пример выполнения I этапа

В трубопроводе потенциально опасного производства движется частица, принимаемая за материальную точку. В результате загрязнения трубопровода частица имеет массу m кг. и, получив в точке А начальную скорость , движется в изогнутой трубе (ABC), находящейся в вертикальной плоскости (рисунок 2). На участке (AB) на частицу помимо силы тяжести действуют постоянная сила Q, направленная против движения точки, и сила сопротивления R, зависящая от скорости . В точке B частица, не изменяя скалярной величины своей скорости , переходит на участок трубы (BC) длины L, где на нее кроме силы тяжести действует переменная сила F, зависящая от времени и направления вдоль линии движения частицы. ,  – углы наклона ветвей трубы, отсчитываемые от линии горизонта против часовой стрелки.

4. Требования к выполнению I этапа

• найти закон движения частицы на участке BC, т.е. , где x – текущая координата частицы на участке BC, отсчитываемая от точки B,

• построить с помощью программы MATHCAD график движения частицы на участке (BC) (графики координат и график зависимости скорости от координаты), провести анализ допустимого времени движения частицы на этом участке, не допускающего ее возвращения на участок (AB), если частица в ходе своего движения по участку (BC) меняет направление, оценить место, где скорость будет минимальной,

• составить на любом языке программирования программу решения

полученных уравнений.

Допущения:

• в данной задаче изогнутый участок в окрестности точки B пренебрежимо мал по сравнению с прямолинейными участками и его не учитываем;

• диаметр трубы предполагается малым по сравнению с длиной;

• трение частицы о стенки трубы не учитывается.

Исходные данные должны быть сведены в таблицу 1.

Таблица 1

m (кг)	(м/с)	Q (н)	R (н)	L (м)	F (н)	 (гр.)	 (гр.)
6	1.5	12		5	-5sin2t	150	210

(числа поставлены в таблице для примера; знак минус в величине силы F означает, что она направлена против скорости частицы)

Рисунок 2.

Указания

Перед решением задачи следует изобразить модель трубопровода с учетом наклона ветвей, как показано на рисунке 2.

Решение задачи разбивается на два этапа. На первом этапе следует составить и проинтегрировать методом разделения переменных с учетом начальных условий дифференциальное уравнение движения частицы на участке (AB). Затем, зная длину участка (или время движения на этом участке), необходимо определить скорость частицы в точке B, которая будет начальной на участке (BC). После чего на втором этапе необходимо снова составить и проинтегрировать с учетом начальных условий дифференциальное уравнение движения на участке (BC), ведя отсчет времени от момента, когда частица находилась в точке B.

5. Порядок выполнения I этапа

Рассмотрим движение частицы на участке (AB) (рисунок 3).

Изобразим частицу в промежуточном положении и покажем действующие на нее силы и реакции связей . Проводим из точки A ось Y в направлении движения частицы. Составим дифференциальное уравнение движения материальной точки вдоль оси Y:

Учитывая что получим

(1.12)

Рисунок 3.

С помощью преобразования разделяем переменные в уравнении (1.12)

(1.13)

Здесь введены обозначения: .

Тогда наше уравнение (1.13) может быть проинтегрировано с учетом начальных условий при , . Отсюда определяем

(1.14)

Взяв экспоненту от левой и правой частей равенства (1.14), находим после преобразований значение скорости частицы в точке B:

(1.15)

Подставляя исходные данные, получаем .

Теперь рассмотрим движение частицы на участке BC, для которого скорость является начальной (рисунок 4).

Рисунок 4.

Изобразим частицу в промежуточном положении и покажем действующие на нее силы и реакции связей , проведем из точки B ось X в направлении движения материальной точки вдоль оси X в форме (1.3)

(1.16)

Здесь

Очевидно . Тогда получим, разделяя переменные в (1.16) и интегрируя с учетом начальных условий при , .

(1.17)

Отсюда выражаем скорость точки в зависимости от изменения времени

(1.18)

Представляя , разделяем переменные и интегрируем с учетом начальных условий

(1.19)

Окончательно выразим координату как функцию

(1.20)

Зависимость (1.18, и 1.20) может быть представлена графически с помощью компьютера с использованием MATHCAD или в любом другом программном графическом продукте .

Аналогично строится график зависимости скорости частицы от координаты на этом участке где:

(1.21)

Замечание: в нечетных вариантах сила Q направлена против направления скорости, а в четных вариантах направление Q совпадает с направлением скорости. Правило отложения углов наклона трубопровода представлено на рисунок 5.

Рисунок 5. Угол поворота φ откладывается от А₀В против хода часовой стрелки; угол поворота θ откладывается от ВС₀ по ходу часовой стрелки;