2. Векторная функция скалярного аргумента

Если каждому значению параметра t из некоторого промежутка ставится в соответствие по некоторому правилу f определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t:

. (4)

Откладывая вектор при от начала координат, получаем траекторию движения конца вектора, называемую годографом.

Проекции вектора на оси координат являются функциями аргумента t, поэтому можно записать:

.

Производная от вектора по аргументу t определяется по формуле:

,

а вторая производная соответственно:

,

Если параметр t – это время, то векторное уравнение (4) называют уравнением движения. Тогда вектор-производная называется скоростью движения:

, (5)

Скорость движения – это вектор, направленный по касательной к траектории движения (годографу) в соответствующей точке в сторону возрастания параметра t.

Вектор

. (6)

называется ускорением движения.

3. Векторное поле

3.1. Поток векторного поля через поверхность.

Если в любой точке M(x, y, z) области задан вектор , то говорят, что в области V задано векторное поле .

Примеры: силовое поле , поле скоростей текущей жидкости, электростатическое поле напряженностей .

Векторное поле является заданным, если задана векторная функция от координат точки M(x, y, z):

,

где P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагаем, что они непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x, y, z в области V (область V может совпадать со всем пространством).

Аналогично определяют плоское векторное поле в двумерной области D: .

Пусть в области задана двусторонняя поверхность σ, в каждой точке которой определен орт внешней нормали – единичной вектор, коллинеарный нормали к поверхности в этой точке и направленный в сторону, которую условились считать «внешней» стороной поверхности.

Поток векторного поля через поверхность σ – это интеграл по поверхности σ от скалярного произведения вектора на орт нормали к поверхности:

.

Поток – интегральная характеристика векторного поля, скалярная величина. Например, для поля скоростей текущей жидкости поток характеризует количество жидкости, проходящей через поверхность σ в направлении «внешней» нормали в единицу времени.

Если поверхность σ задана уравнением , то вектор ее нормали совпадает с градиентом функции, задающей поверхность: , значит, орт нормали .

Для вычисления поверхностного интеграла поверхность область, ограниченную поверхностью σ, проектируют на одну из координатных плоскостей, например в область . Тогда , и вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла:

, (7)

где «+» следует брать в случае, когда вектор и орт «внешней»нормали , указанный в задаче, совпадают по направлению; если эти векторы противоположны по направлению, следует брать знак «–».

При вычислении двойного интеграла следует подынтегральную функцию выразить через переменные x, y, используя заданное уравнение поверхности .

Поток вектора через замкнутую поверхность σ обозначают .

3.2. Дивергенция векторного поля.

Дивергенция (или расходимость) векторного поля в точке М – это предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность σ, окружающую точку М, в направлении ее «внешней» нормали к объему , ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность σ стягивается в точку М:

.

Дивергенция – это дифференциальная (т.е. точечная) характеристика векторного поля; она является скалярной величиной и характеризует наличие источников (если ) или стоков (если ) векторного поля в точке М.

Дивергенция векторного поля вычисляется по формуле:

. (8)