Завьялов лабы / ТОЭ Третья лаба

_{МИНОБРНАУКИ РОССИИ}

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра ТОЭ

отчет

по лабораторной работе № 3 по дисциплине

«Теоретические основы электротехники»

Тема: Исследование свободных процессов в электрических цепях

Студент гр. 6307		Зимаков Н.С.
Преподаватель		Завьялов А.Е.

Санкт-Петербург

2018

Цель работы

Изучение связи между видом свободного процесса в электрической цепи и расположением ее собственных частот (корней характеристического уравнения) на комплексной плоскости; экспериментальное определение собственных частот и добротности RLC-контура по осциллограммам.

Основные теоретические положения

В работе изучаются свободные процессы в цепях, схемы которых представлены на рисунке 1. Цепи возбуждаются очень короткими импульсами тока , заряжающими емкость . В паузах между импульсами емкость разряжается, и цепь находится в свободном режиме, т.к. в это время источник возбуждения отключен: .

В линейных цепях свободный процесс описывается линейными дифференциальными уравнениями, и его вид определяется корнями характеристического уравнения (собственными частотами цепи ).

+ а) б)

При возбуждении цепи источником тока собственные частоты можно рассчитать как нули входной проводимости :

1. для цепи первого порядка, изображенной на рис. 1, а),

откуда получим

2. для цепи второго порядка, изображенной на рис. 2, б),

откуда

где

Общий вид решения для напряжения любого элемента цепи

где — постоянные интегрирования, — порядок цепи.

У цепи первого порядка одна собственная частота (1), вещественная и отрицательная, свободный процесс имеет вид

процесс экспоненциальный, причем — постоянная затухания, а — постоянная времени экспоненты. Временная диаграмма свободного процесса показана на рис. 2, а), причем — интервал времени, соответствующий любой подкасательной к экспоненте.

В цепи второго порядка две собственные частоты (2) могут быть вещественными (апериодический режим; временная диаграмма суммы двух экспонент, изображенных пунктиром, показана на рис. 2, б) или комплексно-сопряженными. Комплексно-сопряженным частотам соответствует качественно новый характер свободного процесса — колебательный:

где — постоянная затухания, — частота затухающих колебаний. Временная диаграмма колебательного процесса представлена на рис. 2, в).

В цепи второго порядка возможен также критический режим (, кратные собственные частоты); вид процесса близок к диаграмме, показанной на рис. 2, б), причем момент достижения максимума , если .

а) б) в)

В некоторых случаях собственные частоты относительно просто рассчитываются по осциллограммам. Например, согласно (3), по рис. 2, а) можно рассчитать постоянную затухания:

В случае 2, в) постоянная затухания также может быть определена на основании (5), но при этом обязательно выполнение условия , что вытекает из (4).

Особый интерес представляет определение добротности RLC-контуров по виду свободного процесса. Для последовательного RLC-контура справедлива формула

где — частота незатухающих колебаний в идеальном контуре (). Согласно (2) собственные частоты последовательного RLC-контура можно записать в виде

причем соответствует апериодический режим, — критический, — колебательный, а — незатухающий колебательный.

При с высокой степенью точности можно считать

С учетом (6) формула, позволяющая в данном случае определить добротность по осциллограмме 2, в), имеет вид

Для повышения точности можно брать отношение напряжений за периодов колебаний:

Замечание. Собственные частоты цепей можно было рассчитать и, например, с использованием уравнений состояния. Так, для цепи, изображенной на рис. 1, б), составим такие уравнения Кирхгофа:

откуда очевидным образом следует система дифференциальных уравнений

Характеристическое уравнение имеет вид или, что то же самое, . Его корни равны

этот результат с точностью до обозначений совпадает с (2).

Экспериментальные результаты

Ответы на вопросы

1) Каким аналитическим выражением описывается осциллографируемый процесс?

Данный процесс описывается затухающей экспонентой с постоянным коэффициентом. Так как процесс свободный, то вынужденной составляющей нет. По осциллограмме можно определить как – координату точки пересечения касательной к осциллограмме в начальной точке с осью абсцисс.

2) Соответствует ли найденная собственная частота теоретическому расчету, выполненному согласно (3.1)?

Общий вид выражения для исследованных процессов: , где и могут быть и комплексными (колебательный случай). Собственные частоты цепи, которая соответствует первой осциллограмме, можно определить, исходя из формулы:

также можно найти на основе осциллограммы как отношение логарифма к отношению значений напряжений 2-х соседних максимумов и временной разности (периода) между этими 2-мя максимума

3) Какими аналитическими выражениями (в общем виде) описываются

процессы во всех четырёх случаях?

4) Соответствуют ли найденные собственные частоты теоретическому расчету, выполненному согласно (3.2)?

5) Каковы теоретические значения собственных частот при R₁ = 3 кОм и соответствует ли значения добротности с результатами теоретического расчета по формуле (3.9)?

6) Как соотносятся найденные значения добротности с результатами теоретического расчета по формуле (3.9)?

7) Каким аналитическим выражением описывается осциллографируемый процесс?

8) Каковы значения собственных частот, вычисленных согласно (3.3), и соответствует ли значения снятая осциллограмма?

Выводы

Форма реакции цепи зависит от вида собственных частот: если собственные частоты вещественные — апериодический режим, комплекстно-сопряженные — периодический режим, кратные — критический апериодический режим.