П. Елементи теорії кілець

2А). З’ясувати, які з наступних множин є кільцями і які полями відносно вказаних операцій (якщо операції не вказані, маються на увазі додавання і множення чисел).

1. Всі матриці вигляду з раціональними або дійсними відносно звичайного додавання і множення матриць.

2. Числа вигляду з раціональними відносно звичайних операцій для визначеності (береться дійсне значення кореня).

3. Числа вигляду з раціональними .

4. Числа вигляду з раціональними .

5. Всі діагональні матриці порядку відносно звичайних додавання і множення матриць.

6. Цілі числа.

7. Парні числа.

8. Парні числа, кратні даному (зокрема ).

9. Раціональні числа.

10. Дійсні числа.

11. Комплексні числа.

12. Числа вигляду з цілими .

13. Числа вигляду з раціональними .

14. Комплексні числа вигляду з цілими .

15. Многочлени від одного невідомого з цілими коефіцієнтами відносно звичайних операцій додавання і множення.

16. Многочлени від одного невідомого з дійсними коефіцієнтами відносно звичайних операцій додавання і множення.

17. Комплексні числа вигляду з раціональними .

18. Матриці порядку з цілими елементами відносно додавання і множення матриць.

19. Матриці порядку з дійсними елементами відносно додавання і множення матриць.

20. Функцій з дійсними значеннями, неперервні на відрізку відносно звичайних додавання і множення функцій.

2Б). Розв’язати задачу з повним поясненням. При посиланні на теорему наводити її формулювання.

1. Навести приклади дільників нуля та ідеалів в кільці функцій, неперервних на відрізку .

2. Довести, що в кільці квадратних матриць порядку з елементами з деякого поля вироджені матриці, і тільки вони, є дільниками нуля.

3. Показати, що пари цілих чисел з операціями, заданими рівностями утворюють кільце і знайти всі дільники нуля цього кільця.

4. Квадратна матриця називається скалярною, якщо її елементи по половній діагоналі рівні між собою, а ззовні її – дорівнюють нулю. Показати, що скалярні матриці порядку з дійсними елементами при звичайних операціях утворюють поле, ізоморфне полю дійсних чисел.

5. Показати, що матриці вигляду , де - дійсні числа, утворюють поле, ізоморфне пою комплексних чисел.

6. Довести, що поле матриць Всі матриці вигляду , де - раціональні числа, ізоморфне полю чисел вигляду також з раціональними .

7. Знайти всі автоморцізми поля комплексних чисел, що залишають незмінними дійсні числа.

8. Нехай - комутативне кільце без дільників нуля. Довести, що

А) елементи асоційовані тоді і тільки тоді, коли кожний з них ділиться на інший;

Б) головні ідеали тоді і тільки тоді співпадають, коли асоційовані.

9. Чи будуть наступні множини , підкільцями або ідеалами вказаних нижче кілець:

А) множина чисел, кратних числу , в кільці цілих чисел ;

Б) множина цілих чисел в кільці цілих гаусових чисел, тобто чисел вигляду з цілими ;

10. Чи будуть наступні множини , підкільцями або ідеалами вказаних нижче кілець

А) Множина багаточленів с 0 вільними членами кільця - багаточленів від X, Y з дійсними коефіцієнтами.

В) множина чисел вигляду в кільці цілих гаусових чисел, де пробігає все кільце .

11. Довести, що перетин будь-якої множини ідеалів комутативного кільця є ідеалом.

12 Довести, що кожне з наступних кілець є кільцем головних ідеалів:

А) кільце цілих чисел;

Б) кільце цілих гаусових чисел.

13. Нехай - кільце цілих гаусових чисел, - множина всіх чисел з парними

А) показати, що - ідеал в ;

Б) знайти суміжні класи по ;

В) у факторі-кільці знайти дільники нуля і цим показати, що не є полем.

14. Довести, що фактор-кільце кільця многочленів з дійсними коефіцієнтами по ідеалу многочленів, що діляться на , ізоморфне полю комплексних чисел .

15. Нехай - кільце всіх дійсних функцій , визначених на всій числовій прямій при звичайних операціях додавання і множення і - дійсне число. Довести, що:

А) відображення є гомоморфне відображення кільця не поле дійсних чисел;

Б) ядро гомоморфізму є ідеал в ;

В) фактор-кільце ізоморфне полю дійсних чисел.

16. Довести, що кожний елемент нетривіального ідеалу кільці необоротний.

17. Довести, що в кільці дійсних матриць другого порядку немає нетривіальних двосторонніх ідеалів.

18. Довести, що в будь-якому кільці оберненості елемента слідує оберненість елемента .

19. Довести, що елемент а оберенений в кільці К по модулю m тоді і тілки тоді, коли а і m взаємно прості.

20.З’ясувати, чи будуть асоційовані елементи кільця Z[√5],

21.Знайти усі обернені елементи кільця Гаусовських чисел .

22.З’ясувати чи буде функція кільця неперервних на відрізку функцій з умовою обернеої в даному кільці. Відповідь обгрунтувати.

23.Довести, що якщо а дільник 0 в даному кільці К, то усі елементи вида , де те ж є дільником 0.

24.З’ясувати, чи буде кільце багаточленів з цілими коефіцієнтами в кільці багаточленів з дійсними коефіцієнтами ідеалом кільця.

25.Довести, що Євклідове кільце є кільцем головних ідеалів.

26.Показати, що якщо К множина усіх раціональних чисел з непарним знаменником в К підкільце поля раціональних чисел, то К – кільце головних ідеалів.