Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве.

Тема 1. Уравнения линий и поверхностей в пространстве.

. Установить, какие поверхности задаются следующими уравнениями в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве. Изобразить схематически эти поверхности.

1. xyz = 0 2. xz = 0 3. z - 3 = 0 4. x² y² z² = 4

5. 2x² 3y² 5z² = 0 6. y² xy = 0 7. (x 1)² (y - 3)² (z + 2)² = 9

8. = 0 9. ² + + z² + 1 = 0 10. = 0

. Составить уравнение плоскости  в пространстве и привести его к общему виду.

1. Нормальное уравнение:   , M 

а) {1; 2; -3}, M(3; -2; 4); б) {-1; 2; 0}, M(2; -1; 3); в) {3; 0; 2}, M(-3; 5; 1)

2. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки: M₁ , M₂ , M₃ 

а) M₁(3; -2; 4), M₂(-3; 5; 1), M₃(1; 0; 2); б) M₁(1; -2; 0), M₂(-2; 3; 2), M₃(0; 3; 1)

3. Уравнение плоскости « в отрезках»: A(a; 0; 0) , B(0; b; 0) , C(0; 0; c) 

а) a = 4, b = 3; c = -2; б) a = - 3, b = 2; c = -1; в) a = 2, b = -1; c = 3

4. Нормированное уравнение: {cos α; cos ; cos }   , d(; ) = p

а) = , = , = , p = 4; б) = , = , = , p = 3; г) = , = , = , p = 5

5. «Неполное» уравнение:

а)  ‖ OXY,  OZ = (0; 0; 3); б)  ‖ OXZ,  OY = (0; -4; 0); в)  ‖ OYZ,  OX = (2; 0; 0); г)  ‖ OZ,  OX = (1; 0; 0),  OY = (0; 2; 0); д)  ‖ OY,  OX = (-2; 0; 0),  OZ = (0; 0; 3); е)  ‖ OX,  OY = (0; -2; 0),  OZ = (0; 0; 5)

. Установить, какие линии задаются следующими уравнениями в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве. Изобразить схематически эти линии.

1. , t(-; +) 2. , t(-; +), R > 0 3. , t(-; +)

4. , t[0; 2], R > 0 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

. Составить канонические и параметрические уравнения прямой линии L в пространстве.

1. ‖ L, M L

а) {1; 2; -4}, M(-3; 5; 0); б) {2; 0; -1}, M(3; -2; 2); в) {5; 3; 0}, M(0; -3; 4)

2. M₁ L, M₂ L

а) M₁(1; 2; -7), M₂(0; -3; 5); б) M₁(-1; 0; 5), M₂(2; 2; -1); в) M₁(0; 5; 0), M₂(3; -1; 2)

3. L = ₁ ₂

а) ₁: 3x - y + 2z - 7 = 0, ₂: x + 3y - 2z - 3 = 0; б) ₁: 2x - 3y - 3z - 9 = 0, ₂: x - 2y + z + 3 = 0

Тема 2. Прямая и плоскость в пространстве.

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M параллельно плоскости .

а) M(1; 1; 1), : 2x - y + z - 1 = 0; б) M(1; 1; 2), : x - y - 1 = 0

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M₁ и M₂ перпендикулярно к плоскости .

а) M₁(1; 2; 0), M₂(2; 1; 1), : x - y + 1 = 0; б) M₁(0; 1; 1), M₂(2; 0; 1), : 2x - y + z + 1 = 0

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M параллельно векторам a₁, a₂.

а) M(1; 1; 1), a₁{0; 1; 2}, a₂{-1; 0; 1}; б) M(0; 1; 2), a₁{2; 0; 1}, a₂{1; 1; 0}

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M₁ и M₂ параллельно вектору a.

а) M₁(1; 2; 0), M₂(2; 1; 1), a {3; 0; 1}; б) M₁(1; 1; 1), M₂(2; 3; -1), a {0; -1; 2}

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; 1; -1) и перпендикулярной к плоскостям: 2x - y + 5z + 3 = 0 и x + 3y - z - 7 = 0.

6. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2x - 3y + 6z - 12 = 0 и координатными плоскостями.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; 7; -5) и отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.

8. Составить уравнение плоскости, делящей пополам двугранный угол, образованный плоскостями: x - 3y + 2z - 5 = 0 и 3x - 2y - z + 3 = 0.

9. В пирамиде ABCD найти двугранный угол между боковой гранью [DAB] и основанием [ABC], если известно: A(2; 0; 0), B(5; 3; 0), C(0; 1; 1), D(-2; -4; 1).

10. Найти расстояния от точки A (-2; 1; -1) до плоскости, проходящей через точки M₁(1; 0; 0), M₂(1; 5; -4), M₃(3; -1; 2).

11. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M (2; -5; 3) и прямой:

а) = = ; б)

12. Вычислить угол между прямыми: = = и = =

13. Вычислить угол между прямыми: и

14. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M (3; -2; 4) и перпендикулярной к плоскости 5x + 3y - 7z + 1 = 0.

15. Найти точку пересечения прямой = = и плоскости 3x - 3y + z + 18 = 0.

16. Найти проекцию точки A (4; -3; 1) на плоскость x + 2y - z - 3 = 0.

17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (3; 1; -2) и прямую = =

18. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую = = и перпендикулярной к плоскости x + 4y - 3z + 7 = 0.

19. Составить уравнение плоскости, проходящей через 2 параллельные прямые

= = и = =

20. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую = = и параллельной прямой = = .

21. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую = = и параллельной плоскости x + y - z + 15 = 0.

22. Найти расстояние от точки P(7; 9; 7) до прямой = =

23. Найти точку M, симметричную точке M (2; -1; 1) относительно плоскости x - y + 2z - 2 = 0.

24. Найти точку M, симметричную точке M (2; -1; 1) относительно прямой = = .

25. Найти расстояние между прямыми = = и = = .

26. Найти расстояние между параллельными прямыми = = и = = .

27. Найти угол между прямой = = и плоскостью x + y - z + 1 = 0.

28. В пирамиде ABCD найти угол между боковым ребром [DB] и основанием [ABC], если известно: A(2; 0; 0), B(5; 3; 0), C(0; 1; 1), D(-2; -4; 1).

Дополнительные задачи.

1. Составить канонические уравнения проекции прямой = = на плоскость x - y + 3z + 8 = 0.

2. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M (3; -2; -4), параллельной плоскости 3x - 2y - 3z - 7 = 0 и пересекающей прямую = = .

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через 2 пересекающиеся прямые

= = и = =

4. Вычислить угол между прямой: и плоскостью, проходящей через точки

M₁(2; 3; -1), M₂(1; 1; 0), M₃(0; -2; 1).

5. Дан треугольник ABC: A(4; 1; -2), B(2; 0; 0), C(-2; 3; -5). Составить канонические уравнения его высоты, опущенной из вершины B на противоположную сторону.

6. Составить канонические уравнения общего перпендикуляра двух прямых: = = и = = .