Тема 2. Умножение векторов.

. Даны векторы . Известны модули этих векторов и углы между ними:

p = , q = , r = , α = , β = , γ = . Вектор является линейной

комбинацией векторов . Найти модуль вектора .

178. = 2 - 3, p = 1, q = 2, α = 179. = + 2, p = 3, r = 1, β =

180. = 2 - , q = 4, r = 2, γ = 181. = - 2, p = 2, q = 1, α =

182. = + 2 - , p = 1, q = 1, r = 2, α = , β = , γ =

183. = 2 - + , p = 1, q = 2, r = 1, α = , β = , γ =

184. = + 2 + , p = 3, q = 1, r = 2, α = , β = , γ =

185. = 2 - - , p = 1, q = 2, r = 3, α = , β = , γ =

. Даны единичные векторы и угол между ними α = . Векторы и

являются линейными комбинациями векторов . На векторах и построен

параллелограмм. Найти площадь S этого параллелограмма и длины его диагоналей d₁ и d₂.

d₁

d₂

186. = + 3, = 3 - , α = 187. = 3 + , = - , α =

188. = - 2, = +4, α = 189. = + 3, = - 5, α =

190. = 2 - , = + 3, α = 191. = 3 + , = - 5, α =

192. = - 4, = 3 + 2, α = 193. = + 4, = - 2, α =

. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , ,, если известны модули этих векторов и углы между ними:

= a, = b, = c, α = , β = , γ = .

194. a = 1, b = 2, c = 3, α = , β = , γ = 195. a = 2, b = 2, c = 3, α = , β = , γ =

196. a = 1, b = 2, c = 4, α = , β = , γ = 197. a = 2, b = 1, c = 2, α = , β = , γ =

198. a = 3, b = 2, c = 2, α = , β = , γ = 199. a = 2, b = 3, c = 3, α = , β = , γ =

200. a = 1, b = 2, c = 4, α = , β = , γ = 201. a = 2, b = 3, c = 2, α = , β = , γ =

Дополнительные задачи.

202. В квадрат ABCD со стороной a вписана окружность. Точка M - произвольная точка этой окружности. Найти сумму MA² + MB² + MC² + MD².

203. Около квадрата ABCD со стороной a описана окружность. Точка M - произвольная точка этой окружности. Найти сумму MA² + MB² + MC² + MD².

204. В куб со стороной a вписана сфера. Точка M - произвольная точка этой сферы. Найти сумму квадратов расстояний от точки M до вершин куба.

205. Найти отношение объема тетраэдра, построенного на некомпланарных векторах , ,, к объему тетраэдра, построенного на векторах +, , .

Тема 3. Прямоугольная декартова система координат.

Рене Декарт (1596 - 1650)

. Построить вектор в прямоугольной декартовой системе координат и указать его направляющие углы. Найти модуль и направляющие cos-ы вектора .

206. 207. 208. 209.

210. 211 . 212. 213 .

214. 215. 216. 217.

. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат:

и . Вычислить:

1) скалярное произведение 

2) проекции ,

3) векторное произведение

4) площадь параллелограмма, построенного на этих векторах

218. , 219. , 220. ,

221. , 222. , 223. ,

224. , 225. , 226. ,

227. , 228. , 229. ,

. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат:

, , . Требуется:

1) вычислить смешанное произведение 2) определить ориентацию этих векторов

3) найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах

230. , , 231. , ,

232. , , 233. , ,

234. , , 235. , ,

236. , , 237. , ,

238. , , 239. , ,

240. , , 241. , ,

. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат. Векторы и

являются линейными комбинациями этих векторов. Определить:

- при каких значениях α и β векторы и будут коллинеарны (№ 242 ÷ 245)

- при каких значениях λ векторы и будут ортогональны (№ 246 ÷ 249)

- при каких значениях λ векторы , и будут компланарны (№ 250 ÷ 253)

242. = 2 + 4, = 3 - , ,

243. = + 2, = 3 - , ,

244. = 5 + 3, = 2 - , ,

245. = -2 + , = 3 - 2, ,

246. = - , = 4 + 2, ,

247. =3 - 2, = -2 + , ,

248. = 2 - , = - + 3, ,

249. = 2 - 3, = 2 + , ,

250. , ,

251. , ,

252. , ,

253. , ,

Дополнительные задачи.

254. Прямоугольная декартова система координат OXY на плоскости получена из прямоугольной декартовой системы координат OXY параллельным переносом на вектор . Произвольная точка M на плоскости имеет координаты (x, y) в одной системе координат и (x, y) - в другой системе координат. Найти связь между этими координатами.

, M(x, y), M(x, y)



255. Прямоугольная декартова система координат OXY на плоскости получена из прямоугольной декартовой системы координат OXY путем поворота осей на угол . Произвольная точка M на плоскости имеет координаты (x, y) в одной системе координат и (x, y) - в другой системе координат. Найти связь между этими координатами.

, M(x, y), M(x, y)



256. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат: , , . Найти координаты вектора , если известно, что = -5, = -11, = 20.

257. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат: , . Найти координаты вектора , если известно, что  ,  , = 14.

. Точка M лежит на отрезке AB и делит его в отношении = α : β.

B

M

*

A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂), M(x₀; y₀; z₀)

A

*

*

Координаты двух из этих точек известны. Найти координаты третьей точки.

258. A(1; -2; 6), B(4; 1; 0), α : β = 1 : 2 259. A(0; -2; 6), M(-6; 1; 3), α : β = 3 : 2

260. B(7; 2; -5), M(4; -1; -2), α : β = 2 : 3 261. A(1; -3; 3), B(5; -7; 3), α : β = 1 : 3

262. A(1; -3; 5), M(-1; 3; 1), α : β = 2 : 1 263. B(-2; 2; 1), M(-3; 1; -1), α : β = 5 : 1

264. A(4; -5; 3), B(0; -1; 7), α : β = 3 : 1 265. A(-2; 3; 6), M(1; -3; 3), α : β = 3 : 5

266. B(9; -3; 0), M(4; 2; -5), α : β = 2 : 5 267. A(4; -1; 3), B(-2; -7; 9), α : β = 1 : 5

268. A(0; 3; 2), M(2; 1; -1), α : β = 1 : 4 269. B(3; 2; -1), M(1; 3; -2), α : β = 4 : 1

. Найти площадь S, стороны a, b, c и углы A, B, C треугольника ABC.

270. A(5; 3; -1), B(5; 2; 0), C(6; 4; -1) 271. A(1; -2; 3), B(4; 2; -9), C(9; 7; -9)

272. A(3; 3; -1), B(5; 5; -2), C(4; 1; 1) 273. A(6; 2; -3), B(6; 3; -2), C(7; 3; -3)

274. A(2; 1; -1), B(6; -1; -4), C(4; 2; 1) 275 A(-4; -2; 0), B(-1; 2; 12), C(-3; 0; 2)

276. A(0; -3; 6), B(1; -1; 4), C(-1; 9; -6) 277. A(-3; -7; -5), B(6; 5; 15), C(7; 3; 13)

. Дана пирамида A₁A₂A₃A₄. Найти: 1) объем пирамиды V; 2) площадь основания ; 3) высоту H, опущенную из вершины A₄ на основание A₁A₂A₃

278. A₁(1; 2; 0), A₂ (3; 0; -3), A₃ (5; 2; 6), A₄ (8; 4; -9)

279. A₁(-4; 2; 6), A₂ (2; -3; 0), A₃ (-10; 5; 8), A₄ (-5; 2; -4)

280. A₁ (-2; 0; -4), A₂ (-1; 7; 1), A₃ (4; -8; -4), A₄ (1; -4; 6)

281. A₁ (5; 2; 0), A₂ (2; 5; 0), A₃ (1; 2; 4), A₄ (-1; 1; 1)

282. A₁ (2; -1; 2), A₂ (1; 2; -1), A₃ (3; 2; 1), A₄ (-4; 2; 5)

283. A₁ (0; -1; -1), A₂ (-2; 3; 5), A₃ (1; -5; -9), A₄ (-1; -6; 3)

284. A₁ (2; 1; 4), A₂ (-1; 5; -2), A₃ (-7; -3; 2), A₄ (-6; -3; 6)

285. A₁ (1; 3; 6), A₂ (2; 2; 1), A₃ (-1; 0; 1), A₄ (-4; 6; -3)

. На плоскости даны 3 точки: A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) и C(x₃; y₃). Построить треугольник ABC и найти:

1) центр тяжести треугольника О(x₀; y₀)

2) площадь треугольника S_Δ

3) стороны треугольника a, b, c

4) радиус вписанной окружности r и радиус описанной окружности R:

(результат дать в десятичных дробях)

5) углы треугольника A, B, C (результат дать в градусах)

6) медианы m_A, m_B, m_C

7) высоты h_A, h_B, h_C

8) биссектрису l_A (или l_B, или l_C)

286. A(-2; 1), B(-6; 4), C(6; 7) 287. A(2; -3), B(-1; -7), C(-6; 3)

288. A(3; 2), B(6; 6), C(8; -10) 289. A(-3; 1), B(5; 7), C(2; -11)

290. A(-1; 5), B(-9; 11), C(3; 6) 291. A(0; 2), B(-6; -6), C(-2; -3)

292. A(3; -3), B(9; 5), C(12; 1) 293. A(2; -1), B(-6; -7), C(-1; 5)

Дополнительные задачи.

294. Дан треугольник ABC : A(1; 0; 2), B(1; 2; 2), C(5; 4; 6). Точка L делит отрезок AC в отношении

1:3, CE - медиана, проведенная из вершины С. Найти координаты точки M пересечения прямых

BL и CE.

295. Дан треугольник ABC : A(1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5; 2; -6). Найти длину биссектрисы его

внутреннего угла при вершине A.

296. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найти косинус угла между векторами и , где M - середина

ребра DD₁.

B₁

C₁

A₁

D₁

B

C

M

A

D

297. Выразить площадь треугольника ABC на плоскости через координаты его вершин:

A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃).