Кривые распределения Хлюстова

Основными характеристиками кривых распределения являются их масштаб и форма. Под масштабом понимают длину вариационного ряда (размах варьирования). При этом принимаем условие ограничения размаха варьирования частот десятью классовыми промежутками. Форма кривых распределения частот, наиболее часто встречающиеся при распределении какого-либо таксационного показателя деревьев в древостое, может быть двух видов:

- джей-образной, где максимум частот ряда распределения приходится на I, либо на X класс, рис. 1;

- колоколообразной, где максимальное количество частот может находиться в любом классе от II до IX, рис. 1.

Меняющееся по классам количество частот в ряду распределения сказывается на изменении формы кривой накопленного распределения частот. Так в пределах каждого классового промежутка кривая накопленного распределения частот меняет форму от вогнутой до выпуклой (рис. 2). Поэтому сглаживание (выравнивание) кривых распределения осуществляется с учетом меняющейся по классам криволинейности накопленного распределения частот. Для этого используется функция степенная (аллометрическая) функция вида:

y = x^β,

где: y – процент накопленного распределения частот в классовом промежутке;

х – номер классового промежутка;

β – аллометрическая постоянная.

В процессе моделирования формы кривых необходимо выполнить следующее:

- выразить абсолютные частоты ряда распределения в процентах;

- осуществить переход от исходного ряда распределения частот к накопленному распределению частот;

- сместить в начало координат ряд накопленного распределения частот, как показано на рисунке 2;

- расположить каждый классовый промежуток накопленного ряда распределения частот в смещенной системе координат (X1-Y1, X2-Y2…X10-Y10), как показано на рисунке 1.

Эти действия позволяют определить вид аллометрического изменения (вогнутость или выпуклость) кривой по классам. При этом кривая накопленного ряда частот в классах с 1 по 5 обладает положительной (β>1) аллометрией (рис.3), а в классах с 6 по 10 отрицательной (β<1).

Значения численных коэффициентов β_t по классам следует рассматривать для двух вариантов форм кривых распределения, когда:

- исходный ряд распределения имеет джей-образную форму кривой;

- исходный ряд распределения имеет колоколообразную форму кривой.

Расчет β_t по классам следует вести в следующей последовательности:

- определить медиану накопленного ряда распределения частот. Для чего значение верхней границы десятого класса делят пополам;

по формуле 1 вычисляют β_р для пятого класса. По полученному значению определяют номер кривой (графа 1 таблицы 1);

β₁…β₄ рассчитывают в убывающем порядке от четвертого класса к первому, а β₆…β₁₀ – в возрастающем, от шестого класса к десятому. Теоретические значения β_t сведены в графы 2-11 таблицы 1.

Рис.1.

Рис.2.

Рис.3.

Значения для кривых с номерами 1-4 (графа 1) применяются для расчета теоретических частот в рядах распределения, имеющих J-образную форму, а с номерами 5-25 – в рядах колоколообразной формы.

Таблица 1

Значения коэффициента _t для десяти классовых промежутков

рядов распределения случайных величин

Номер кривой	t для классовых промежутков ряда распределения
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	1,0	0,559	0,118	0,104	0,1	0,074	0,059	0,044	0,030	0,015
2	1,0	0,671	0,343	0,267	0,2	0,142	0,094	0,055	0,026	0,007
3	1,0	0,780	0,559	0,419	0,3	0,202	0,125	0,067	0,028	0,006
4	1,150	0,925	0,725	0,550	0,4	0,274	0,173	0,095	0,041	0,010
5	1,313	1,076	0,861	0,669	0,5	0,354	0,232	0,135	0,063	0,017
6	1,448	1,207	0,985	0,783	0,6	0,438	0,298	0,182	0,090	0,027
7	1,578	1,334	1,106	0,895	0,7	0,524	0,367	0,232	0,122	0,040
8	1,711	1,462	1,227	1,006	0,8	0,610	0,438	0,285	0,156	0,056
9	1,851	1,595	1,351	1,119	0,9	0,696	0,508	0,338	0,191	0,072
10	1,999	1,733	1,477	1,233	1,0	0,781	0,577	0,391	0,225	0,088
11	2,158	1,878	1,608	1,348	1,1	0,865	0,644	0,441	0,258	0,103
12	2,327	2,030	1,743	1,466	1,2	0,947	0,709	0,488	0,289	0,117
13	2,509	2,190	1,882	1,585	1,3	1,028	0,772	0,533	0,316	0,130
14	2,702	2,360	2,028	1,707	1,4	1,107	0,831	0,574	0,340	0,139
15	2,911	2,539	2,179	1,832	1,5	1,184	0,886	0,610	0,361	0,147
17	3,376	2,931	2,502	2,091	1,7	1,331	0,986	0,670	0,389	0,153
18	3,638	3,146	2,675	2,226	1,8	1,400	1,030	0,693	0,396	0,153
19	3,923	3,378	2,858	2,365	1,9	1,467	1,069	0,711	0,400	0,149
20	4,233	3,627	3,051	2,508	2,0	1,530	1,103	0,723	0,399	0,144
21	4,574	3,896	3,256	2,656	2,1	1,591	1,132	0,730	0,394	0,137
22	4,950	4,188	3,473	2,810	2,2	1,647	1,156	0,732	0,385	0,128
23	5,366	4,506	3,706	2,970	2,3	1,700	1,174	0,729	0,372	0,118
24	5,829	4,854	3,956	3,137	2,4	1,748	1,187	0,720	0,356	0,107
25	6,348	5,238	4,225	3,312	2,5	1,793	1,193	0,706	0,337	0,095

1. Таблица 2

Алгоритм расчета процента теоретических частот ряда распределения

Середина класса, м (x)	Границы классов	nэмп , шт.				Накопленные эмпирические частоты,		Сдвинутая ось (x')
1	2	3		4		5		6	7
-	0,5	-				-		0	-
2,5	4,5	275		47,74		47,74*		4	-
6,5	8,5	135		23,44		71,18		8	0,693
10,5	12,5	62		10,76		81,94		12	0,405
14,5	16,5	39		6,77		88,72		16	0,288
18,5	20,5	20		3,47		92,19		Me = 20	0,223
22,5	24,5	20		3,47		95,66		24	0,182
26,5	28,5	12		2,08		97,74		28	0,154
30,5	32,5	7		1,22		98,96		32	0,134
34,5	36,5	4		0,69		99,65		36	0,118
38,5	40,5	2		0,35		100		40	0,105
Сумма			N=576		100

Табличные значения ti	Накопленные частоты,	Поправка Δ		Накопленные частоты с поправкой,	, %		, %
8	9	10		11	12		13		14
-	-	-		-	-		-		-
1	47,74*	0,469		47,31	47,3		47,7		0,00
0,630	73,89	0,726		73,22	25,9		23,4		0,24
0,343	84,90	0,834		84,13	10,9		10,8		0,00
0,267	91,67	0,900		90,84	6,7		6,8		0,00
βр= 0,172	95,85	0,941		94,99	4,1		3,5		0,11
0,142	98,37	0,966		97,48	2,5		3,5		0,38
0,094	99,80	0,980		98,90	1,4		2,1		0,31
0,055	100,53	0,987		99,63	0,7		1,2		0,33
0,026	100,84	0,990		99,93	0,3		0,7		0,51
0,007	100,91	0,991		100,00	0,1		0,3		1,01
Сумма										2,91
			2расчетный
			052 – Пирсона								12,6

Подробная схема расчета процента теоретических частот для джей-образной кривой, представлена в таблице 2. Табличное значение , соответствующее номеру кривой (в нашем случае 2-му), вычисляется по формуле 1 и заносится в строку 6 графы 8.

, (1)

где:- значение верхней границы класса, равного медиане ряда распределения

(Ме = 40 / 2 = 20), то есть величине, занимающей серединное положение в ряду;

- значение частоты эмпирического ряда распределения, соответствующей медиане ряда – верхней границе пятого класса;

Значение _p округляют до десятых и, умножают на 10. Исходя их полученной величины _p, определяют номер кривой табличных значений (_t):

0,172 ≈ 0,2; 0,2 * 10 = 2 .

Из таблицы 1 выписываются значения, принадлежащие полученной кривой в восьмой столбец расчетной таблицы 2, после чего вычисляют распределение накопленных теоретических частот по классам по следующей схеме:

1) теоретическое значение частоты в первом классе ряда распределения приравнивается эмпирическому значению в этом же классе;

2) по формуле вычисляют теоретические накопленные частоты по всем классам ряда распределения и записывают их в столбец 9. Так, например, частота в шестом классе равна 98,37%:

;

3) при завершении расчета накопленных частот в теоретическом ряду распределения возможен случай не равенства общей суммы частот ряда распределения 100 процентам (9-й столбец, строка 11), для чего следует произвести корректировку частот согласно формулам представленным в п.4;

4. по формуле уравновешивают теоретический ряд с эмпирическим, где: . Так, откорректированная (уравновешенная) теоретическая частота, с учетом поправки Δ, в третьем классе составит:

%

5) по формуле рассчитывают процент частот по каждому классу и полученные результаты записывают в столбец 12.

В завершении вычисляют ²_{расчетный} и, сравнивая его с табличным на 5-ти процентом уровне значимости (₀₅²), делают заключение о соответствии теоретического распределения эмпирическому.

1. 17