Задача к2

Дано: r₁ = 2 см, R₁ = 4 см,

r₂ = 6 см, R₂ = 8 см,

r₃=12 см, R₃=16 см.

-закон изменения угловой скорости колеса 2.

t₁ = 2 с

Определить: V₅, ω₃, ε₂, a_A, a₄

Решение. Отметим точки контакта одного тела с другим: точка K (груз - трос), точка D (трос - звено 3), точка G (звено 2 - звено 3), точка H (звено 2 - звено 1), точка M (звено 1 – рейка 4).

Проскальзывание в точках контакта отсутствует, следовательно, скорости соприкасающихся точек равны.

Будем называть ведущим звеном то звено, движение которого задано. С рассмотрения ведущего звена начинаем решение задачи. В данной задаче это звено 2.

По условию, закон изменения угловой скорости колеса 2:

(1)

Определим угловое ускорение тела ₂

При t₁=2c

Знаки и разные, следовательно, вращение тела 2 замедленное.

Рассмотрим точки G и H.

Сравнив эти соотношения, найдем

При t₁=2c

Рассмотрим точки D и К.

Сравнив эти соотношения, найдем

При t₁=2c = 16 см/c и вектор направлен по вертикали вверх.

Рассмотрим точку Н и А.

;

Сравнив эти соотношения, найдем

см/с²;

вектор направлен к центру колеса 1;

;

В момент времени t₁=2c Знаки и разные, следовательно, вращение тела 1 замедленное.

вектор направлен в сторону, противоположную повороту тела 1 (замедленное вращение тела).

Рассмотрим точку М.

Сравнив эти соотношения, найдем

Подставляя в последнее уравнение данные, получим:

Т. к. звено 4 движется прямолинейно, то ускорение равно:

Ответ: при t₁=2c

, - замедленное вращение против часовой стрелки;

, - вращение против часовой стрелки;

см/с - движение по вертикали вверх;

см/с², вектор направлен к центру колеса 1;

см/с², вектор и направлен в сторону, противоположную вектору , так как вращение тела замедленное;

Задача кз

Дано: b = 12 cм,  = t²- 2t³,

s = AM=40·(t²-3t)+32

s – в сантиметрах, t – в секундах

Определить: абсолютную скорость V_абс и абсолютное ускорение а_абс точки М в момент времени t₁ = 1 с.

Решение. Рассмотрим абсолютное движение точки М как сложное, считая ее движение по прямой ВD относительным, а вращение пластины – переносным (подвижные оси М₁xy связаны с пластиной). Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение найдутся по формулам:

(1)

где учтено, что

Определим все входящие в равенство (1) величины.

1. Относительное движение (мысленно остановим пластину). Это движение задано естественным способом Закон движения точки по прямолинейной траектории:

s = AМ = 40·(t²-3t)+32, (2)

поэтому , , так как для прямой линии .

В момент времени t₁ = 1 с имеем

s₁ = AМ₁ = -48 см, V_отн = -40 см/с, а_отн = 80 см/с². (3)

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону отрицательного отсчета координаты s, а вектор – в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рисунке.

2. Переносное движение (мысленно остановим движение точки по пластине). Это движение (вращение) происходит по закону  = t²- 2t³.

Найдем угловую скорость  и угловое ускорение  переносного вращения:  = = 2t – 6t²;  = = 2-12t и при t₁ = 1 с,

 = -4 с^-1 ,  = -10 с^-2. (4)

Знаки указывают, что в момент t₁= 1с направление  и  противоположно положительному отсчету угла .

Из рисунка находим расстояние h₁ от точки M₁ до оси вращения О (перпендикулярной плоскости чертежа): ΔАОМ₁-прямоугольный, равнобедренный

h₁ = = 67,8 см. Тогда в момент t₁ = 1 с, учитывая равенства (4), получим

(5)

Изобразим на рисунке векторы и (с учетом знаков  и ) и ; направлены векторы и перпендикулярно ОМ₁, а вектор – по линии М₁О к оси вращения.

3. Ускорение Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса определяем по формуле где  – угол между вектором и осью вращения (вектором ). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор . В момент времени t₁ = 1 с, учитывая, что в этот момент и , получим

(6)

Направление найдем по правилу Н.Е.Жуковского: так как вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90 в направлении , т.е. по ходу часовой стрелки. Изображаем на рис. 4. Определение . Учитывая, что в данном случае угол между и равен 45°, значение можно еще определить по формуле

5. Определение а_абс. По теореме о сложении ускорений

(7)

Для определения проведем координатные оси М₁xy и вычислим проекции на эти оси. Учтем при этом, что векторы и лежат на оси х, а векторы расположены в плоскости пластины. Тогда, проектируя обе части равенства (7) на координатные оси М₁хy получим для момента времени t₁ = 1с:

Отсюда находим значение :

Ответ: V_абс = 300,8 см/с, а_абс = 1454 см/с².