3.4. Правила вывода Армстронга
Пусть задано отношение R и подмножества его атрибутов А, В и С (символическая запись АВ означает объединение А и В).
1. Рефлективность: если В – подмножество А, то А ® В (доказательство определения тривиальности).
2. Дополнение: если А ® В, то АС ® ВС.
3. Транзитивность: если А ® В и В ® С, то А ® С.
Для практического вычисления замыкания S+ из этих правил можно вывести несколько дополнительных правил (пусть D – еще одно подмножество множества атрибутов отношения R. Все подмножества А, В и С предполагаются произвольными):
4. Самоопределение: А ® А.
5. Декомпозиция: если А ® ВС, то А ® В и А ® С.
6. Объединение: если А ® В и А ® С, то А ® ВС.
7. Композиция: если А ® В и С ® D, то AC ® BD.
И, наконец, восьмое правило, предложенное Дарвеном и называемое теоремой всеобщего объединения:
8. Если A ® B и С ® D, то А È (С – В) ® ВD (где «È» - операция объединения множеств, а « - » - их разность).
ПРИМЕР
Пусть задано отношение R с атрибутами А, В, С, D, E, F и следующими ФЗ:
Придадим данному примеру более конкретный смысл: А - номер сотрудника, В -
номер отдела, С - номер руководителя данного сотрудника, D - номер проекта, возглавляемого данным руководителем (уникальный для каждого из них), E - название отдела, F - доля времени, уделяемая данным руководителем заданному проекту.
Теперь можно показать, что для отношения R зависимость AD ® F принадлежит замыканию данного множества ФЗ.
1. А ® ВС (дано)
2. А ® С (из 1 согласно декомпозиции)
3. AD ® CD (из 2 согласно дополнению)
4. CD ® EF (дано)
5. AD ® EF (из 3 и 4 согласно транзитивности)
6. AD ® F (из 5 согласно декомпозиции)
Если замыкание А+ состоит из атрибутов отношения R, то А является суперключом отношения R.
Суперключ отношения R - это множество атрибутов отношения R, которое содержит в виде подмножества (но не обязательно собственного подмножества) по крайней мере один потенциальный ключ.
Таким образом, суперключи для данного отношения R - это такие подмножества К множества атрибутов отношения R, что функциональная зависимость
К ® А
истинна для каждого атрибута А отношения R.
Другими словами, множество К является суперключом тогда и только тогда, когда замыкание К+ для множества К в пределах заданного множества функциональных зависимостей является множеством абсолютно всех атрибутов переменной отношения R (кроме того, множество К является потенциальным ключом тогда и только тогда, когда оно является неприводимым суперключом).
3.5. Неприводимое множество зависимостей
Пусть S1 и S2 являются двумя множествами ФЗ. Если любая ФЗ, которая является зависимостью множества S1, является также зависимостью множества S2 и S1+ является подмножеством S2+, то S2 называется покрытием для S1.
Если S2 является покрытием для S1, а S1 - покрытием для S2, т.е. S1+ = S2+, то S1 и S2 эквивалентны.
Множество ФЗ называется неприводимым тогда и только тогда, когда выполняются перечисленные ниже свойства:
1. Зависимая часть каждого ФЗ множества S содержит только один атрибут.
2. Детерминант (левая часть) каждой ФЗ множества S является неприводимым, т.е. ни один атрибут не может быть опущен из детерминанта без изменения замыкания S+.
3. Ни одна ФЗ не может быть опущена из S без изменения замыкания S+ (т.е. без конвертирования множества S в некоторое множество, не эквивалентное множеству S).