Предельные теоремы теории вероятностей

Теорема Бернулли. Относительная частота успехов в независимых испытаниях по схеме Бернулли сходятся по вероятности при к вероятности успеха в одном испытании.

Центральная предельная теорема (Ляпунова). Если случайные величины в последовательности независимы, одинаково распределены и имеют конечные математическое ожидание и дисперсию , то для любого действительного

, где – стандартизированное среднее арифметическое случайных величин в последовательности.

Пусть – число успехов в независимых испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при достаточно больших значениях

,

где – табулирована и (интегральная теорема Муавра – Лапласа).

, где ,

– функция табулирована (локальная теорема Муавра – Лапласа).

Пример 1.

Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие наступит 120 раз в 144 испытаниях.

Решение.

По условию задачи . Воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Найдем значение аргумента

.

По таблице функций находим, что . Искомая вероятность равна

.

Пример 2.

Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятность следующих событий: (в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет меньше 20 ошибок), (будет сделано ровно 7 ошибок).

Решение.

Для вычисления вероятности события применим интегральную теорему Муавра – Лапласа.

. Искомая вероятность будет

.

По таблицам функции находим, что

, .

Искомая вероятность равна

.

4.5. Варианты заданий для контрольной работы № 6 Задача 1

1. Случайная величина – число попаданий в корзину при одном броске. Вероятность попадания равна 0,3. Найти .

2. Случайная величина – число попаданий мячом в корзину при двух бросках. Вероятность попадания равна 0,4. Найти .

3. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Случайная величина – число отказавших элементов в одном опыте. Найти .

4. Дискретная случайная величина – число мальчиков в семьях с четырьмя детьми. Рождение мальчика и девочки считаются равновероятными. Найти вероятности событий: , , .

5. Производится опытов по схеме Бернулли. Вероятность «успеха» в каждом опыте равна . Случайная величина – число «неудач» в – опытах. Построить график функции распределения при =5, =0,5.

6. В урне 5 белых и 25 чёрных шаров. Вынимается один шар. Случайная величина – число вынутых белых шаров. Найти .

7. Автомобиль должен проехать по улице, на которой установлены три светофора, дающие независимо друг от друга зелёный сигнал в течение 1,5 мин., жёлтый – в течение 0,3 мин., красный – в течение 1,2 мин. Случайная величина – число остановок автомобиля на этой улице. Найти .

8. В коробке имеется 7 карандашей, из которых 4 красные. Из коробки извлекают три карандаша. Случайная величина – число красных карандашей в выборке. Найти вероятность события и .

9. На пути движения автомобиля расположены 4 светофора. Каждый из них, с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает движение. Случайная величина – число светофоров, встреченных машиной до первой остановки. Найти .

10. Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Случайная величина – число проб при открывании замка; испробованный ключ более не используют. Найти .

11. В ящике лежат – изделий, из которых одно бракованное. Из ящика извлекают изделия одно за другим до тех пор, пока не будет вынуто бракованное изделие. Случайная величина – число вынутых изделий. Найти .

12. Выбирают по одной букве из слов день и ночь. Случайная величина равна 1, если обе буквы гласные; =0, если буквы согласные; в остальных случаях. Найти .

13. Производится два независимых выстрела по мишени. Случайная величина – разность между числом попаданий и числом промахов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Найти .

14. Дискретная случайная величина задана законом распределения

	-2	-1	0	1	2
	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1

Найти . Найти вероятности событий:; .

15. Дискретная случайная величина задана законом распределения

	0	1	2	3	4
	0,05	0,2	0,3	0,35	0,1

Найти . .

16. Дан ряд распределения случайной величины

	10	20	30	40	50
	0,2	0,3	0,35	0,1	0,05

Найти .

17. Случайная величина – число очков, выпавших на верхней грани игральной кости при её бросании. Определить тип случайной величины, и найти её закон распределения.

18. Закон распределения случайной величины характеризуется следующей таблицей

	0	2	3	6
	0,2	0,3	0,1	0,4

Найти аналитический вид функции распределения случайной величины

и построить график

19. Случайная величина принимает значения – 2, 0 и 2 с вероятностями, соответственно, равными . Найти и построить её график.

20. Случайная величина характеризуется следующим распределением вероятностей

	–3	–2	0	1	3
	0,2	0,1	0,2	0,4	0,1

Найти и построить график.