2.2. Векторы. Линейные операции над векторами

Величина, для задания которой необходимо указать ее численное значение и направление, называется векторной или вектором.

Векторы изображаются направленными отрезками и обозначаются или , где точки и  – начало и конец вектора.

Численное значение векторной величины называется длиной или модулем вектора и обозначается или .

Если , то – нулевой вектор; направление нулевого вектора произвольно.

Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой (обозначение ).

Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Два вектора равны, т.е. , если выполнены три условия: =;  ; и одинаково направлены.

Из определения равенства векторов следует, что параллельное перемещение не меняет вектора. Этим свойством можно воспользоваться, чтобы привести векторы к общему началу.

Сложение векторов. Сумму нескольких векторов можно найти по правилу многоугольника: чтобы найти вектор – сумму заданных векторов-слагаемых, нужно последовательно совместить начало следующего вектора-слагаемого с концом предыдущего, тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего, называется суммой заданных векторов.

Умножение вектора на скаляр. Пусть – вектор,  – скаляр, тогда – вектор, обладающий следующими свойствами: а) ; б) ; в)  сонаправлен вектору , если , и направлен противоположно, если .

Свойства умножения вектора на скаляр: 1)  ; 2) ; 3) ; 4) если , то либо , либо .

Критерий коллинеарности двух векторов: , если .

Если задан ненулевой вектор , то единичный вектор того же направления называется ортом вектора .

Векторы называются линейно независимыми, если равенство выполняется только при условии, что при всех .

Любые два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы, т.е. если и не коллинеарны, то из и наоборот; два неколлинеарных вектора на плоскости образуют базис, и всякий третий вектор этой плоскости можно представить в виде , разложив его по базису (, ). Числа  и  в этом случае называются координатами вектора в базисе (, ). Разложение вектора по базису (, ) единственно, т.е. координаты  и  можно найти единственным образом.

Любые три некомпланарных вектора , , в пространстве линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства; всякий четвертый вектор этого пространства можно единственным образом разложить по базису (, , ), т.е. представить в виде , где , ,  – координаты вектора в базисе (, , ).

Три некомпланарных вектора , , образуют правую тройку векторов, если из конца вектора кратчайший поворот от к виден в положительном (против часовой стрелки) направлении.