2.3. Проекция вектора на заданную ось. Координаты вектора в декартовой системе координат

Проекцией точки А на заданную ось называется точка – основание перпендикуляра, опущенного из точки А на ось.

Проекцией вектора на ось называется величина отрезка , заключенного между проекциями начала и конца вектора . Обозначим проекцию вектора на ось ;  – проекцию вектора на направление . Очевидно, что , если угол между и острый, и , если угол между векторами и – тупой (рис.8). Проекцию можно вычислить по формуле

,

где – угол наклона вектора к оси .

Векторы и называются ортогональными (), если параллельны двум взаимно перпендикулярным прямым.

Правая тройка взаимно ортогональных ортов образует декартов базис .

Координатами вектора в декартовом базисе являются проекции этого вектора на оси координат. Разложение вектора в декартовой системе координат обозначается .

Пусть , . Тогда

;

;

.

Косинусы углов, которые вектор образует с осями координат, называются направляющими косинусами вектора :

; ;

; .

Пусть и – точки пространства, тогда

.

2.4. Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением векторов и называется скаляр (число)

.

Свойства скалярного произведения: 1) ; 2) ; 3) - скаляр, .

Согласно определению скалярного произведения и его свойствам

; ; , (8)

где – скалярный квадрат вектора .

Условие ортогональности векторов имеет вид .

Если то

.

Если . (9)

Для базисных векторов справедливы равенства

; ; ; .

2.5. Векторное и смешанное произведения векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется следующим образом: а) , т.е. численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях как на сторонах; б)  и ; в) , , образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения:

1) ;

2) , где  - скаляр;

3) ;

4) ; ; ; , где – координатные орты;

5) если и , то

. (10)

Условие коллинеарности векторов

.

Смешанным произведением трех векторов , и называется скалярное произведение вектора на вектор . Смешанное произведение векторов обозначается .

Свойства смешанного произведения:

1) ; (11)

2) , но .

Условие компланарности векторов:   тогда и только тогда, когда , , компланарны и не равны нулю.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , .

Объем пирамиды, образованной векторами, .

Если , и , то