Билет 4

Если каждому натуре числу n (n=1,2,3..) поставлено в соотв-е нек число Xn, то говорят что опред-на и задана последовательность x1, x2 …, пишут {Xn}, (Xn).Пример: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,…После-ть назыв огранич. сверху (снизу) если мн-во точек x=x1,x2,…xn лежащ на числовой оси огранич сверху (снизу), т.е. С:XnC Предел посл-ти: число а назыв пределом посл-ти, если для люб-го ε>0  : N (N=N/(ε)). n>N выполн-ся неравенство |Xn-a|<ε. Т.е. – ε<Xn-a<ε => а–ε<Xn<а+ε: _.а–ε_.а_.а+ε_. Число А называется пределом числовой последовательности {a_n}, если

при n > N.

Единственность предела ограниченной и сходящейся последовательности

Свойство1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: от противного пусть а и b пределы сходящейся последовательности {x_n}, причем a не равно b. рассмотрим бесконечно малые последовательности {α_n}={x_n-a}и {β_n}={x_n-b}. Т.к. все элементы б.м. последовательности {α_n-β_n} имеют одно и тоже значение b-a, то по свойству б.м. последовательности b-a=0 т.е. b=a и мы пришли к противоречию.

Свойство2: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть а – предел сходящейся последовательности {x_n}, тогда α_n=x_n-a есть элемент б.м. последовательности. Возьмем какое-либо ε>0 и по нему найдем N_ε : / x_n-a/< ε при n> N_ε. Обозначим через b наибольшее из чисел ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х _Nε-1/,х _Nε. Очевидно, что / х_n/<b при любом n=1,2,…отсюда и следует ограниченность последовательности {x_n}.

Замечание: ограниченная последовательность может и не быть сходящаяся.

Билет 6

Последовательность а_n называется бесконечно малой , это означает, что предел этой последовательности после равен 0.

a_n – бесконечно малая  lim(^n+)a_n=0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется a_n<ε

Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

_n_nбесконечно малое  _n+_n – бесконечно малое.

Доказательство.

Дано:

_n- бесконечно малое  ε>0  N₁:_n>N₁  _n<ε

_n- бесконечно малое  ε>0  N₂:_n>N₂  _n<ε

Положим N=max{N₁,N₂}, тогда для любого n>N  одновременно выполняется оба неравенства:

_n<ε _n+_n_n+_n<ε+ε=2ε=ε₁n>N

_n<ε

Зададим ε₁>0, положим ε=ε₁/2. Тогда для любого ε₁>0 N=maxN₁N₂ :  n>N  _n+_n<ε₁  lim(^n)(_n+_n)=0, то

есть _n+_n – бесконечно малое.

Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

_n,_n – бесконечно малое  _n_n – бесконечно малое.

Докозательство:

Зададим ε₁>0, положим ε=ε₁, так как _n и _n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N₁:  n>N  _n<ε

N₂:  n>N₂  _n<ε

Возьмем N=max {N₁;N₂}, тогда n>N = _n<ε

_n<ε

_n_n=_n_n<ε²=ε₁

 ε₁>0 N:n>N _n_n<ε²=ε₁

lim _n_n=0  _n_n – бесконечно малое, что и требовалось доказать.

^n

Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность

а_n – ограниченная последовательность

_n –бесконечно малая последовательность  a_n_n – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Так как а_n – ограниченная  С>0: nN  a_nC

Зададим ε₁>0; положим ε=ε₁/C; так как _n – бесконечно малая, то ε>0 N:n>N _n<ε a_n_n=a_n_n<Cε=Cε₁/C=ε₁

ε₁>0 N: n>N  a_n_n=Cε=ε₁  lim(^n) a_n_n=0 a_n_n – бесконечно малое

Последовательность называется ББП (последовательностью) если Пишут . Очевидно, ББП не ограничена. Обратное же утверждение вообще говоря неверно (пример ). Если для больших n члены , то пишут это значит, что как только .

Аналогично определяется смысл записи

Бесконечно большие последовательност a_n=2ⁿ ;b_n=(-1)ⁿ2ⁿ ;c_n=-2ⁿ

Определение (бесконечно большие последовательности)

1) lim(^n)a_n=+, если ε>0N:n>N  a_n>ε где ε- сколь угодно малое.

2) lim(^n)a_n=-, если ε>0 N:n>N  a_n<-ε

3) lim(^n)a_n=  ε>0 N:n>N  a_n>ε