Билет 26

Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»

Пусть на множестве D задана непрерывная возрастающая или убывающая функция y=f(x). Тогда на множестве её значений Е определена обратная ей функция x=g(y), которая непрерывна и возрастает или убывает на множестве Е.

Непрерывность элементарных функций.

1. y = sin x, (- < x < +).

Ранее мы доказали непрерывность функции sin x в точке x = 0.

Докажем непрерывность sin x в произвольной точке а. Для этого нужно доказать, что

sin x = sin a, или что sin x - sin a  0 при x  a. Воспользуемся формулой

sin x - sin a = 2sincos.

Если x  a, то 0, поэтому sin 0, а так как 2cos- ограниченная функция, то sin x - sin a  0, что и требовалось доказать. Непрерывность sin x в любой точке доказана.

Рассмотрим теперь функцию у = , Х =[- x  ]. На этом сегменте функция y = sin x является непрерывной и возрастающей (возрастание следует из формулы

sin- sin= 2sincos).

Следовательно, по теореме об обратной ф-ции, множеством значений данной функции является сегмент

Y = [sin(-), sin()] = [-1, 1], на Y= [-1, 1] существует обратная функция x = arcsin y, возрастающая и непрерывная на [-1, 1].

Билет 27

Равномерная непрерывность функции.

Определение непрерывности, точки разрыва функции.

Определение 1:

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если f(x) = f(а)

Примеры:

f(x) = sin x непрерывна в точке х =0 , так как sin x = 0, и sin 0 = 0, то есть sin x = sin 0.

Рациональная функция f(x) = непрерывна в любой точке а, в которой (а)  0,

так как было доказано, что = ((а)  0). Замечаение:

Так как х = а, то условие непрерывности функции можно записать в виде

f(x) = f(x). Таким образом, непрерывность f(x) в точке а означает, что символы и f можно менять местами.

Определение 2.

f(x) называетмя непрерывной в точке а, если   > 0   > 0: | f(x) - f(а) | <  при | х - а | < .

Пусть f(x) непрерывна в точке а и f(а) > 0. Возьмём  = f(a). По определнию 2

  > 0: | f(x) - f(a) | < f(а) при | х - а | < , то есть - f(a) < f(x) - f(a) < f(a) в - окрестности точки а.

Из последнего неравенства следует, что f(x) > 0 в - окрестности точки а.

Итак, если f(x) положительна и непрерывна в точке а, то она остается положительной в некоторой окрестности точки а. Это свойство называется устойчивостью знака непрерывной функции.

Пусть f(x) определена на [a, a + ). Функция f(x) называется непрерывной в точке а справа, если f(x) = f(а). (то есть f(а + 0) = f(а)).

Аналогично определяется непрерывность в точке а слева.

Пример:

f(x) = [x].

 целого n: f(n - 0) = n - 1, f(n + 0) = n, f(n) = n, то есть, f(n + 0) = f(n)  f(n - 0).

Следовательно , в целочисленных точках эта функция непрерывна только справа. В остальных точках- и справа и слева.

Теорема

Если f(x) непрерывна в точке а справа и слева, то она непрерывна в точке а.

Доказательство:

По условию f(а + 0) = f(а) и f(а - 0) = f(а).

Отсюда по теореме 2.1 следует, что  f(x) = f(а), а это и означает, что f(x) непрерывна в точке а. Теорема доказана.

2. Если ф-ция f(x) дифференцируема в точке x₀, то f(x)-непрерывна в точке x₀.

3. Ф-ция f(x) -непрерывна в точке x₀, если lim(f(x))=f(x₀), при x→x₀

+Арифм действия с ф-циями связаны с пределами ф-ций, равными A и B

(Кантора). Непрерывная на сегменте функция равномерно непрерывна на этом сегменте.