5.3 Приклади розв'язання задач

Приклад 5.1. На пласку необмежену межу поділу двох ідеальних немагнітних діелектриків із середовища 1 падає під кутом до поверхні пласка паралельно поляризована хвиля. Обчислити і побудувати графіки залежностей коефіцієнтів Френеля від кута падіння, прийнявши ₁ = 1, ₂ = 9,17. Визначити межі інтервалу зміни кутів падіння, в якому коефіцієнт відбиття не перевищує значення 0,35.

 Задано межу поділу двох ідеальних немагнітних діелектриків. У нашому розпорядженні формули (5.7) – (5.11). Відношення ₂/₁ > 1, критичний кут падіння не існує, а паралельна поляризація визначає наявність кута Брюстера.

З формули (5.10) . Коефіцієнти Френеля знаходимо за формулами (5.8) з підстановкою коефіцієнтів для паралельної поляризації A₁ = cos, A₂ = cos_зал (див. (5.7)). Для контрольної точки  = 50 маємо A₁ = 0,643, A₂ = 0,967,

Рисунок 5.6  Залежності коефіцієнтів Френеля від кута падіння для паралельної поляризації

Н а рис. 5.6 зображено необхідні залежності. При  = 0 . До кута Брюстера зменшується і _ = , на куті Брюстера , _ = /2, а після кута Брюстера збільшується і _ = 0. Коефіцієнт проходження зменшується від до нуля і при будь-яких кутах падіння _t = 0. Кути падіння, які забезпечують допуск на відбиття , знаходимо із розв'язання рівняння . За допомогою, наприклад, функції root( , )

з програми MahtCAD маємо інтервал кутів від ₁ = 48,33 до ₂ = 81,37. 

Приклад 5.2. Виконати завдання за прикладом 5.1, прийнявши ₁ = 9,17, ₂ = 1.

 Відношення ₂/₁ < 1, тому існує критичний кут падіння, а паралельна поляризація визначає наявність кута Брюстера. З формул (5.10), (5.11)

.

У закритичній області _кр    90 , а коефіцієнт проходження зменшується від максимального значення на критичному куті до при  = 90 (рис. 5.7). В точці нормального падіння ( = 0) ( тому що і зі зменшенням діелектричної проникності напруженість E зростає.).

Р исунок 5.7  Залежності коефіцієнтів Френеля від кута падіння для паралельної поляризації в прикладі 5.2

Зсув фази відбитої і заломленої хвилі відсутній при кутах падіння до початку закритичної області  = _кр. На куті Брюстера _ стрибком змінюється до значення /2, далі зростає до значення  на критичному куті _кр, а в закритичній області  > _кр плавно зменшується до 0 при  = 90º. Зсув фази заломленої хвилі в закритичній області плавно зменшується на /2.

Контрольні точки для перевірки розрахунків: при  = 10 , а при  = 50 _ = 0,202 рад, _t = -1,47 рад (_t = 2 1,47 = 4,813 рад. 

Приклад 5.3. Пласка електромагнітна хвиля падає із середовища 1 під кутом на пласку безмежну межу поділу двох немагнітних діелектриків з відносними діелектричними проникностями ₁ = 9,17, ₂ = 5,83. Обчислити:

а) критичний кут падіння;

б) залежність фазової швидкості і швидкості перенесення енергії спрямованої хвилі в середовищі 1 від кута падіння в інтервалі _кр    90. Побудувати обидві криві на одному графіку;

в) залежність довжини хвилі спрямованої хвилі уздовж межі поділу і довжини хвилі уздовж нормалі до поверхні від кута падіння на частоті 3,5 ГГц;

г) залежність коефіцієнта загасання поверхневої хвилі в середовищі 2 від кута падіння.

 В цьому прикладі досліджуються основні особливості спрямованої хвилі в середовищі 1 і поверхневої хвилі в середовищі 2: а) критичний кут падіння визначає нижню межу області зміни кута падіння під час виконання наступних пунктів. За формулою (5.11) _кр = 52,88; б) фазова швидкість і швидкість перенесення енергії спрямовані вздовж пласкої площини розподілу і знаходяться за простими формулами (5.12). Графіки наведено на рис. 5.8. Принципово, що фазова швидкість більша, ніж швидкість поширення хвилі в середовищі 1, а швидкість перенесення енергії  менша. Контрольні циф-

ри: на куті падіння  = 60 при значенні V₁=0,99110⁸ м/с маємо

V_ф=1,14410⁸ м/с  V₁,

V_е = 0,85810⁸ м/с  V₁;

в) довжини хвиль в напрямку,

паралельному площині поділу _z,

Рисунок 5.8  Залежність V_ф V_е спрямованої і в напрямку, перпендикулярному

хвилі від кута падіння площині поділу _x, знаходяться за формулами (5.13). При  = =90 _x  , а _z = ₁. Із збільшенням кута падіння значення _z зменшується, а значення _x зростає, причому _x > ₁, _z > ₁

(рис. 5.9).

Контрольні цифри:

Рисунок 5.9  Довжини хвиль спрямованої хвилі ₁=28,31 мм, при куті падіння 60

_x = 56,61 мм, _z = 32,68 мм;

г) коефіцієнт загасання по- верхневої хвилі, яка поширюєть- ся в суміжному шарі середовища 2, знаходиться за (5.15). З рис. 5.10 видно, що за нормаллю до поверхні в друге середовище тттттттРисунок 5.10  Коефіцієнт загасання хвиля сильно загасає. Так, на куті

 = 60 _x = 75 неп/м. 

Приклад 5.4. Знайти модуль і аргумент коефіцієнта відбиття під час падіння на частоті f= 3,5 ГГц пласкої хвилі з повітря перпендикулярно пласкій необмеженій межі поділу з поглинальним середовищем, у якого ₂ = 9,17, ₂ = 1,5 См/м. Побудувати графіки стоячої хвилі для електричної і магнітної складових.

З формули (5.6). Розрахунки за (5.18), (5.19) подано у вигляді нормованих характеристик на рис. 5.11. Максимальні значення нормованої характеристики стоячої хвилі дорівнюють , а мінімальні  . Значення складових

Рисунок 5.11  Графіки стоячих хвиль поля на площині поділу визначені зсувами

фази, які відрізняються на . На відстані x=₁/4 нормовані значення дорівнюють , . 