Матричные уравнения

A^-1|AX=В→ EX=A^-1B→ X=A^-1B

A – матрица коэффициентов, X – столбец неизвестных.

11.

Системы n уравнений

X=A^-1B==

12.

Формула Крамера.

, Δ_i-определитель полученный из матрицы А если в ней столбец заменить на столбец свободных членов. Вывод

Теорема Крамера.

Система из n линейных уравнений м n неизвестными, определитель которой отличен от 0, имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле Крамера.

13.

Минор матрицы

Ранг матрицы

1. Если в матрице А выделить k строк и k столбцов, то определитель составленный из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов называется минором k-го порядка матрицы А. Ранг матрицы – наивысший порядок минора отличный от 0

2. Элементы S₁, S₂…S_n называются линейно зависимыми, если существует набор чисел n₁, n₂…n_n такой что n₁S₁+n₂S₂+…+n_nS_n=0 и хотя бы одно из чисел n_i≠0. Если это выполняется при всех т=0, то элементы называются не линейно зависимыми. Ранг матрицы – количество линейно независимых строк или столбцов этой матрицы.

14.

Теорема Кронехера-Копелли

Система из m линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы, причем:

1. если rA=rÂ=n – 1 решение.

2. если rA=rÂ<n - ∞ решений.

3. если rA≠rÂ≤n - нет решений.

16.

Совместная система – система, имеющая хотя бы 1 решение.

Решение системы – набор чисел такой, что при подстановке в систему каждое уравнение превращает в равенство.

Общее решение – решение из которого можно получить все частные решения

1. Все неизвестные выражаются через 1 параметр (кол-во неизвестных = n-rA)

2. Все базисные неизвестные выражаются через свободные члены.

Свободное неизвестное – неизвестное в ответе, остальные – базисные

Алгоритм Гаусса

1. Найти a_i1≠0 и поставить на первое место

2. S₁→S₁:a₁₁

3. S_i→S_i-a_i1S₁, где i=2,3...m

4. Ищем a_j2≠0(j≠1) и т.д. если a_j2=0 при любом j=2…m, то ищем a_j3≠0 (j≠1).

18.

Операции над векторами и их свойства

1. Сложение

А)

Б)

В)

Г)

Противоположные вектора – вектора модули которых равны, но направление противоположное.

19.

2. Умножение вектора на число

, если а)

Свойства

1.

2.

3.

4.

Орт вектора – единичный вектор сонаправленный с данным вектором.

20.

Ось – прямая с заданным направлением.

Проекция точки – основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось.

Пр_eAB=|AB| или -|AB|

Свойства проекции.

1. Пр_еAB=|AB|cosA

Доказательство: 1. A-острый Из треуг. ABB’’: |AB’’| =|AB|cosA

2. A-тупой B=180-A |CC’|=|DC|cosB=|DC|cos(Pi-A)=-|DC|cosA =>

=>|D’C’|=-|DC|cosA

2. Пр_еAB+Пр_еВС=Пр_е(АВ+ВС)

Доказательство:

1.А₁-угол между AB и e A₂ – угол между ВС и е острые

Пр_еАВ=|А’В’| Пр_еВС=|В’С’ | Пр_е(АВ+ВС)=|В’С’|+|А’В’| =|A’C’|

2.А₁- острый A₂ – тупой

Пр_еАВ=|А’В’| Пр_еВС=-|В’С’ | Пр_е(АВ+ВС)=|В’С’|-|А’В’| =|A’C’|

3.k*Пр_ea=Пр_еka

Доказательство:

1. K>0 => ka||a => угол не меняется

Пр_еа=|a|cosA Пр_еka=|ka|cosA=|k|Пр_еа

2. K<0 => угол между ka и e =Pi-A

Пр_eka=|ka|cos(Pi-A)=|k||a|(-cosA)=-|k||a|cosA=kПр_ea

21.

ab=|a||b|cosA

Свойства

1. Пр_еа=|a|cosA=ab/|b|

Пр_аb=|b|cosA =>ab/|a|

=>ab=|b|Пр_ba=|a|Пр_аb

2. a(b+c)=ab+ac

Доказательство: ab=|a|Пр_ab ac=|a|Пр_ас

Пр_а(b+c)=Пр_аb +Пр_ас =>|a|Pr_a(b+c)=|a|Pr_ab+|a|Pr_aс => a(b+c)=ab+ac

3. (na)b=a(nb)=n(ab)

Доказательство: a(nb)=|a|Pr_abn=|a|nPr_ab=n(ab)

4. Два ненулевых вектора а≠0, b≠0 перпендикулярны когда ab=0 и наоборот.

Доказательство: 1. если a┴b, то угол A=90^o => cosA=0 , то ab=0

5. Связь между длиной вектора и скалярным произведением.

Aa=|a||a|=|a|²=> |a|=

22.

c=axb, если

1. |c|=|a||b|sinA

2. c┴a c┴и

3. a b с образуют первую тройку векторов

Свойства

1. геометрический смысл S=axb

2. axb=-bxa

3. ax(b+c)=axb+cxa

4. Умножение вектора на число (na)xb=ax(nb)=n(axb)

23.

Смешанное произведение векторов

C(axb)=a(bxc)=abc

V=abc

24.

Признак коллинеарности векторов

a\\b то существует k≠0? Что b=ka

Доказательство:

1. Если b=ka =>b||a, по определению умножения вектора на число.

2. Пусть b||a , возьмем k=|b|/|a|

Если а||b то k=|k|

Если a||b то k=-|k|

Тогда с=ka будет с=b, т.е. b=ka, c=ka

1. |c|=|k||a|

2. c||a

3. c||a, если k>0

4. c||a, tckb k<0

Теорема.

Если 2 вектора коллинеарные то они линейно зависимы.

Доказательство:

По признаку коолинеарности: a=kb a-kb=0

1. a≠0, b≠0 тогда a и b ЛЗ l₁=1, l₂=-k

2. а=0, тогда l₁=1, l₂=0 – ЛЗ

Два ненулевых вектора а≠0, b≠0 перпендикулярны когда ab=0 и наоборот.

Доказательство: 1. если a┴b, то угол A=90^o => cosA=0 , то ab=0

3 вектора компланарны если лежат в одной плоскости т.е. их смешанное произведение равно 0.

25.

Векторы a₁ a₂…a_n называются ЛЗ если существуют n₁ n₂…n_n, где хотя бы одно n_i≠0, что n₁a₁+n₂a₂+…+a_nn_n=0, если это условие выполняется при всех n=0 то векторы ЛНЗ

Базисом в некотором пространстве называется набор из n ЛНЗ векторов a₁ a₂…a_n, такой что любой вектор b из этого пространства можно представить как линейную комбинацию базисных векторов т.к. существуют числа n₁ n₂…n_n b=n₁a₁ +n₂a₂+…+n_na_n

26.

Теорема.

Если 2 вектора коллинеарные то они линейно зависимы.

Доказательство:

По признаку коолинеарности: a=kb a-kb=0

3. a≠0, b≠0 тогда a и b ЛЗ l₁=1, l₂=-k

4. а=0, тогда l₁=1, l₂=0 – ЛЗ

В соответствии с этой теоремой получаем что если вектора неколлинеарны то они ЛНЗ.

28.

Декартовая система координат в пространстве

i j k – базис ДС

1. |i|=|j|=|k|=1

2. i┴J┴k

3. i j k –правая тройка тогда k=ixj

32.

axb= ixj=k ixk=-j jxi=-k jxk=I kxj=-I kxi=j

38.

Уравнение плоскости через точку

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Общее уравнение

Ax+By+Cz+D=0

39.

Пересечения с осями

Ox- x=-D/A

Oy- y=-D/B

Oz- z=-D/C

ABC-наклон D-сдвиг

1. D=0 Проходит через н.к.

2. A=0 Не пересекает ох

3. А=0, Д=0 Плоскость проходит через ox

4. A=0, B=0 плоскость параллельна плоскости Oxy

40.

Уравнение плоскости в отрезках



42.

Расстояние от точки до плоскости

43.

Взаимное расположение плоскостей

1. α₂||α₁ если N₁||N₂

2. α₂┴α₁ Если N₁N₂=0 A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0

3. Угол между плоскостями – угол между N₁ и N₂

46.

Каноническое уравнение прямой Параметрические уравнения прямой

47.

Прямая на пересечении 2 плоскостей.

D₁ не равно D₂

48.

49.

1. l₁||l₂ если S₁||S₂ =>

2. . l₁┴l_{2 если} S₁┴S₂ =>S₁S₂=0 =>m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂

Угол между прямыми

cosA=

Направляющие косинусы прямой – косинусы направляющего вектора.

50.

Расстояние от точки до прямой.

P – проекция M*

M*P||N

D=|M*P|=|Pr_NM₀M|=|N*M₀M|/|N|=

==

=

51.

Угол между прямой и плоскостью

Расположение прямой и плоскости.

1. l||α => SN=>NS=0 Am+Bn+Cp=0

2. l┴α => S||N =>

52.

Проекция точки на плоскость

α: Ax+By+Cz+D=0

l:

x=x*+At

y=y*+Bt

z=z*+Ct

подставляем в α: и получаем

Проекция точки на прямую

l:

l ┴α: m(x-x*)+n(y-y*)+p(z-z*)=0

x=x*+At

y=y*+Bt

z=z*+Ct

53.

Проекция прямой на плоскость.