9. Предельный переход в неравенствах:

Если элементы сходящейся последовательности {Xn} начиная с некоторого номера удовлетворяет неравенству Xn ≥ b ( или Xn ≤b) то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a≥b ( или a ≤ b)

Доказательство: Пусть ( от противного) a<b тогда для ε = b-a > 0 можно указать номер N такой что при n>N выполняется неравенство

| Xn-a | < b-a. Это неравенство эквивалентно двум неравенствам –(b-a)<Xn-a<b-a. Используя правое из этих неравенств мы получим Xn < b а это противоречит условию утверждения. Случай Xn ≤ b рассматривается аналогично.

Сделаем следующее замечание. Переменная Xn может удовлетворять строгому неравенству Xn > b однако при этом предел а может оказаться равным b.

Если элементы Xn и Yn сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn} начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству Xn≤Yn то их пределы удовлетворяют такому же неравенству.

Так как все элементы бесконечно малой последовательности {} имеют одно и тоже постоянное значение b-a, то b-a = 0, т.е. b=a. Теорема доказана.

Сходящаяся последовательность ограничена. Доказательство: пусть {Xn} – сходящаяся последовательность и а – ее предел. Следовательно, имеем Xn=a+n, где n- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {} ограничена, то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство ||≤A. Поэтому |Xn|≤|a|+A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {Xn}. Теорема доказана.

10.Теорема о 2-х милиционерах.

Если начиная с некоторого номера последовательность Z_n удовлетворяет следующему неравенству x_n≤Z­_n≤y­_n , причем последовательность x_n и y­_n являются сходящимися к одному и тому же числу а, то последовательность Z_n заведомо тоже сходится, причем к тому же числу а. Доказательство: Если y­_n сходится к числу а и Z­_{n­ ­}сходится к числу а, то для любого >0 существует N₂ такое что для любых n>N₁; |y_n-a|</2; |x_n-a|</2 что |y_n- х_n |*|y_n-a -x_n+a |≤|y_n-a|+|x_n-a|≤ для любого  существует N₂: любое n>N₂ . |x_n-a|</2 . N>max(N­₁, N₂)

11. Теорема о монотонной и ограниченной последовательности.

Пусть для любого n=1,2... XnXn+1, если последовательность {Xn} ограничена сверху числом М, то существует то существует lim(n ) X=AM. Если же она не ограничена, то limXn=+.

Доказательство. Пусть неубывающая переменная Xn ограничена сверху числом М. Тогда существует точная верхняя грань. sup Xn=CM. Это значит что для всякого >0 должно найтись n=n такое, что С-<Xn. Но так как Xn не убывает, то для всех n>n выполняется неравенство неравенство XnXn, поэтому С-<XnC<C+ для n>n или |Xn-C|<, n>n, а по определению предела это значит lim(n ) Xn=C. Пусть теперь Xn не ограничена сверху. Тогда для любого М>0 найдется такое Xnо, что M<Xno. Но так как Xn не убывает, то для всех n>no будет M<Xno<Xn, а это означает что lim(n ) Xn=+

Пример: Доказать, что Xn=(a^n)/n!0 при n . Решение. Так как |a^n| = |a^n|

то достаточно рассмотреть случай a>0. |n!| n!

Пусть m-натуральное число, такое, что m+1>a. тогда: a^n < a^m * ( a )^n-m 0 при n

n! m! (m+1)

_____________________________________________________________________________