2. Назначение математических моделей

Будем различать задачи оптимального управления и оптимального проектирования. От этого зависит структура модели и глубина ее исследования (черный ящик, серый и т.д.)

Задача оптимального управления: имеется ОУ и УУ. УУ постоянно анализирует ситуацию, выводит модель в заданную рабочую точку. Задача управления решается постоянно. Для таких задач требуется математическая модель, описывающая связи между выходными и входными переменными объекта. В зависимости от сложности ОУ сложность ММ может быть различна от передаточной функции до системы уравнений n-го порядка.

Задача оптимального проектирования включает в себя задачу выбора рабочей точки процесса, т.е. оптимизации режима. Математически задачи оптимального управления и оптимального проектирования совпадают, но задача оптимального проектирования решается один раз, ММ для них должны включать причинно-следственные связи и строиться на основе физических и химических процессов, происходящих в объекте.

1. Постановка задачи идентификации

1) Объект идентификации имеет структурную схему приведенную на рисунке 7, где обозначено

Рисунок 7 Структурная схема объекта

идентификации

Пусть объект описывается уравнением: . Так какЕ не измеряется и истиннвый вид уравнения F₀ мы не знаем, поэтому будем искать модель в виде: . Обратим внимание, что структура функцийиразличны.

2) Информация об объекте

Информация об объекте разбивается на два вида: .

А – априорная информация (предварительная, доэкспериментальная)

В – апостериорная информация (экспериментальная)

Априорная информация на основе литературных данных, опроса специалистов, ранее проведенных работ может содержать сведения о структуре объекта, приближенные данные об значениях коэффициентов и т.д., например, качественный вид зависимости для другого аналогичного объекта.

Априорная информация в свою очередь включает четыре вида информации: .

- объект статический, описывается алгебраическим уравнением, память объекта равна нулю, значение выходной переменной в момент t зависит от значения входных параметров тоже только в момент t. Примером такого объекта может быть усилительное звено

- объект динамический, описывается дифференциальным уравнением, объект обладает памятью – значение выходной переменной в момент t определяется весовой функцией от предыдущих значений входной переменной. Примером может быть классическое звено 1-го порядка с передаточной функцией и экспоненциальной весовой функцией. Получение значения выходной переменной для времениt по уравнению свертки

Рисунок 8 Решение уравнения свертки уравнения

первого порядка

иллюстрируется рисунком 8. Память системы определяется отрезком времени, на котором весовая функция

Показатель 2

Этот показатель рассмотрены выше. Объект является стохастическим, если его выход зависит от неконтролируемых входов или сам объект содержит неконтролируемый источник случайных возмущений. В принципе, стохастичность всегда имеет место, объект можно считать детерминированным при уровне неопределенности: .

Показатель 3

Объект является линейным, если выполняется принципы суперпозиции:

Показатель 4

Объект является дискретным, если состояние его входов и выходов изменяется или измеряется лишь в дискретные моменты времени

Таблица 1

				
0	статическая	детерминированная	линейная	непрерывная
1	динамическая	стохастическая	нелинейная	дискретная

Таким образом структура объекта определяется четырьмя показателями, сведенными в таблицу 1.

Естественно, что представления о виде модели, определяемые априорной информацией, могут изменяться после анализа апостериорной информации, т.е. после наблюдения за изменением входа и выхода объекта.

Апостериорная информация является количественной и включает экспериментальные данные, которые затем используются для нахождения оценок коэффициентов модели. Экспериментальные данные содержат выборки входных и выходных переменных объекта управления, обычно представленные в виде таблиц: для непрерывных объектов:

для дискретных объектов:

3) Критерий идентификации

Задача идентификации заключается в нахождении оператора F, близкого к оператору F₀. Близость относительна, так как F₀ и F имеют разную структуру. Близость F₀ и F оценивается по их реакции на одно и тоже воздействие. Степень близости оценивается различными критериями. Наиболее часто в практике применяется критерий МНК:

где: - выход объекта;

- прогнозируемое по модели значение.

В данном случае критерий I является функционалом, т.к. зависит от выбора оператора F. Стоит задача получить минимальные значения критерия I, варьируя значение F в пределах заданного класса операторов. Такая задача относится к задачам нелинейного программирования: .

Таким образом задача идентификации включает два необходимо:

• провести структурную идентификацию, т.е. выбрать структуру модели;

• провести параметрическую идентификацию и получить оценки вектора коэффициентов путем решения задачи нелинейного программирования.

Иногда при параметрической идентификации задача минимизации критерия отсутствует, но это только внешне, т.к. уравнения для оценок вектора коэффициентов получены из уловия равенства нулю производних критерия идентификации по параметрам модели.

4) Идентификация структуры проводится следующим образом

• выделение объекта из окружающей среды;

• ранжирование входов и выходов по степени их влияния на поставленную цель управления;

• определение рационального числа входов;

• выбор типа оператора F на основании априорной информации или на основании экспериментальной информации, начиная с простейших моделей с последующим усложнением.

После выбора типа уравнения производится оценка вектора коэффициентов математической модели.

5) Решение задачи параметрической идентификации.

Методы параметрической идентификации будем классифицировать по трем признакам: .

Показатель 1 а – признак активности метода

Метод идентификации является пассивным, если выборка данных производятся в процессе нормального функционирования объекта. Метод активный, если на объекте специльно проводятся эксперименты на основании разработанного плана. Для эффективного решения таких задач, уменьшения количества необходимых экспериментов разработана теория планирования экспериментов.

Показатель 2 b – признак адаптивности.

При неадаптивном методе идентификации производится полный эксперимент и после его окончания определяютс оценки коэффициентов. Адаптивный метод заключается в том, что уже после проведения начальных экспериментов производится получение оценок вектора коэффициентов. Затем по мере проведения новых экспериментов эти оценки уточняются. Достоинством метода является возможность включения математической модели уже на первых этапах исследования объекта управления. Кроме того, данный метод позволяет постояннов в процессе работы системы отслеживать изменение коэффициентов модели при изменении режима работы обекта и других возмущениях. Следует отметить, что адаптацию модели можно рассматривать как систему управления с отрицательной обратной связью (следящей системой), ошибкой в которой является ошибка прогноза математической модели, управляющим воздействием – вектор коэффициентов модели, объектом управления канал от вектора коэффициентов до выхода модели, возмущающими воздействиями – изменение параметров объекта управления. На рисунке приведены графики, поясняющие неадаптивный и адаптивный методы идентификации.

Показаетль 3 с – признак дискретности.

Метод идентификации является дискретным, если измерения состояния входа и выхода объекта производится в дискретные моменты времени.

Произведем оценку возможного поличества моделей и вариантов идентификации. Вид модели классифицируется по 4-м параметрам, каждый из которых может принимать 2 значения. Тогда количество видов моделей . С учетом количества методов идентификацииk количество возможных вариантов построения модели